Theorem ecoprass 4304

Description: Lemma used to transfer an associative law via an equivalence relation.

Hypotheses

Ref	Expression
ecoprass.1	⊢ D = ((S × S) / R)
ecoprass.2	⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R) = [⟨G, H⟩]R)
ecoprass.3	⊢ (((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨N, Q⟩]R)
ecoprass.4	⊢ (((G ∈ S ⋀ H ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
ecoprass.5	⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (N ∈ S ⋀ Q ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R) = [⟨L, M⟩]R)
ecoprass.6	⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) → (G ∈ S ⋀ H ∈ S))
ecoprass.7	⊢ (((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → (N ∈ S ⋀ Q ∈ S))
ecoprass.8	⊢ J = L
ecoprass.9	⊢ K = M

Assertion

Ref	Expression
ecoprass	⊢ ((A ∈ D ⋀ B ∈ D ⋀ C ∈ D) → ((AFB)FC) = (AF(BFC)))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,u,A   x,B,y,z,w,v,u   x,C,y,z,w,v,u   x,F,y,z,w,v,u   x,R,y,z,w,v,u   x,S,y,z,w,v,u   z,D,w,v,u

Proof of Theorem ecoprass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecoprass.1	. 2 ⊢ D = ((S × S) / R)
2		opreq1 3953	. . . 4 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → ([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R) = (AF[⟨z, w⟩]R))
3	2	opreq1d 3960	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ((AF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R))
4		opreq1 3953	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = (AF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)))
5	3, 4	eqeq12d 1481	. 2 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → ((([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) ↔ ((AF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = (AF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R))))
6		opreq2 3954	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (AF[⟨z, w⟩]R) = (AFB))
7	6	opreq1d 3960	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → ((AF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ((AFB)F[⟨v, u⟩]R))
8		opreq1 3953	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → ([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = (BF[⟨v, u⟩]R))
9	8	opreq2d 3961	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (AF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = (AF(BF[⟨v, u⟩]R)))
10	7, 9	eqeq12d 1481	. 2 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (((AF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = (AF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) ↔ ((AFB)F[⟨v, u⟩]R) = (AF(BF[⟨v, u⟩]R))))
11		opreq2 3954	. . 3 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → ((AFB)F[⟨v, u⟩]R) = ((AFB)FC))
12		opreq2 3954	. . . 4 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → (BF[⟨v, u⟩]R) = (BFC))
13	12	opreq2d 3961	. . 3 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → (AF(BF[⟨v, u⟩]R)) = (AF(BFC)))
14	11, 13	eqeq12d 1481	. 2 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → (((AFB)F[⟨v, u⟩]R) = (AF(BF[⟨v, u⟩]R)) ↔ ((AFB)FC) = (AF(BFC))))
15		ecoprass.8	. . . 4 ⊢ J = L
16		ecoprass.9	. . . 4 ⊢ K = M
17		opeq12 2480	. . . . 5 ⊢ ((J = L ⋀ K = M) → ⟨J, K⟩ = ⟨L, M⟩)
18		eceq2 4262	. . . . 5 ⊢ (⟨J, K⟩ = ⟨L, M⟩ → [⟨J, K⟩]R = [⟨L, M⟩]R)
19	17, 18	syl 10	. . . 4 ⊢ ((J = L ⋀ K = M) → [⟨J, K⟩]R = [⟨L, M⟩]R)
20	15, 16, 19	mp2an 695	. . 3 ⊢ [⟨J, K⟩]R = [⟨L, M⟩]R
21		ecoprass.2	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R) = [⟨G, H⟩]R)
22	21	opreq1d 3960	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R))
23	22	adantr 389	. . . . 5 ⊢ ((((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R))
24		ecoprass.4	. . . . . 6 ⊢ (((G ∈ S ⋀ H ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
25		ecoprass.6	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) → (G ∈ S ⋀ H ∈ S))
26	24, 25	sylan 448	. . . . 5 ⊢ ((((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
27	23, 26	eqtrd 1499	. . . 4 ⊢ ((((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
28	27	3impa 826	. . 3 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
29		ecoprass.3	. . . . . . 7 ⊢ (((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨N, Q⟩]R)
30	29	opreq2d 3961	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R))
31	30	adantl 388	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ ((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S))) → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R))
32		ecoprass.5	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (N ∈ S ⋀ Q ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R) = [⟨L, M⟩]R)
33		ecoprass.7	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → (N ∈ S ⋀ Q ∈ S))
34	32, 33	sylan2 451	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ ((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S))) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R) = [⟨L, M⟩]R)
35	31, 34	eqtrd 1499	. . . 4 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ ((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S))) → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = [⟨L, M⟩]R)
36	35	3impb 827	. . 3 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = [⟨L, M⟩]R)
37	20, 28, 36	3eqtr4a 1524	. 2 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)))
38	1, 5, 10, 14, 37	3ecoptocl 4289	1 ⊢ ((A ∈ D ⋀ B ∈ D ⋀ C ∈ D) → ((AFB)FC) = (AF(BFC)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 773   = wceq 953   ∈ wcel 955  ⟨cop 2401   × cxp 3158  (class class class)co 3948  [cec 4243   / cqs 4244

This theorem is referenced by:  addasspq 5035  mulasspq 5037  addasssr 5169  mulasssr 5171  axaddass 5249  axmulass 5250

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fv 3188  df-opr 3950  df-ec 4247  df-qs 4250

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