Theorem eff1i 8739

Description: The exponential function maps the set S, of complex numbers with imaginary part in a closed-below, open-above real interval of length 2 · π starting at A, one-to-one to the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
eff1i.1	⊢ A ∈ ℝ
eff1i.2	⊢ D = (A[,)(A + (2 · π)))
eff1i.3	⊢ S = {v ∈ ℂ∣(ℑ ‘v) ∈ D}
eff1i.4	⊢ F = {⟨z, w⟩∣(z ∈ D ⋀ w = (exp ‘(i · z)))}
eff1i.5	⊢ C = {v ∈ ℂ∣(abs ‘v) = 1}

Assertion

Ref	Expression
eff1i	⊢ (exp ↾ S):S–1-1→(ℂ ∖ {0})

Distinct variable groups:   v,A,w,z   v,D,w,z   w,C,z   v,F

Proof of Theorem eff1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fv 3880	. 2 ⊢ ((exp ↾ S):S–1-1→(ℂ ∖ {0}) ↔ ((exp ↾ S):S–→(ℂ ∖ {0}) ⋀ ∀x ∈ S ∀y ∈ S (((exp ↾ S) ‘x) = ((exp ↾ S) ‘y) → x = y)))
2		eff2 7370	. . 3 ⊢ exp:ℂ–→(ℂ ∖ {0})
3		fveq2 3730	. . . . . . 7 ⊢ (v = x → (ℑ ‘v) = (ℑ ‘x))
4	3	eleq1d 1543	. . . . . 6 ⊢ (v = x → ((ℑ ‘v) ∈ D ↔ (ℑ ‘x) ∈ D))
5		eff1i.3	. . . . . 6 ⊢ S = {v ∈ ℂ∣(ℑ ‘v) ∈ D}
6	4, 5	elrab2 1910	. . . . 5 ⊢ (x ∈ S ↔ (x ∈ ℂ ⋀ (ℑ ‘x) ∈ D))
7	6	pm3.26bi 322	. . . 4 ⊢ (x ∈ S → x ∈ ℂ)
8	7	ssriv 2072	. . 3 ⊢ S ⊆ ℂ
9		fssres 3649	. . 3 ⊢ ((exp:ℂ–→(ℂ ∖ {0}) ⋀ S ⊆ ℂ) → (exp ↾ S):S–→(ℂ ∖ {0}))
10	2, 8, 9	mp2an 699	. 2 ⊢ (exp ↾ S):S–→(ℂ ∖ {0})
11		fvres 3740	. . . . 5 ⊢ (x ∈ S → ((exp ↾ S) ‘x) = (exp ‘x))
12		fvres 3740	. . . . 5 ⊢ (y ∈ S → ((exp ↾ S) ‘y) = (exp ‘y))
13	11, 12	eqeqan12d 1493	. . . 4 ⊢ ((x ∈ S ⋀ y ∈ S) → (((exp ↾ S) ‘x) = ((exp ↾ S) ‘y) ↔ (exp ‘x) = (exp ‘y)))
14		abseft 7484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ ℂ → (abs ‘(exp ‘x)) = (exp ‘(ℜ ‘x)))
15		abseft 7484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ℂ → (abs ‘(exp ‘y)) = (exp ‘(ℜ ‘y)))
16	14, 15	eqeqan12d 1493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → ((abs ‘(exp ‘x)) = (abs ‘(exp ‘y)) ↔ (exp ‘(ℜ ‘x)) = (exp ‘(ℜ ‘y))))
17		fvres 3740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℜ ‘x) ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ) ‘(ℜ ‘x)) = (exp ‘(ℜ ‘x)))
18		fvres 3740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℜ ‘y) ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ) ‘(ℜ ‘y)) = (exp ‘(ℜ ‘y)))
19	17, 18	eqeqan12d 1493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℜ ‘x) ∈ ℝ ⋀ (ℜ ‘y) ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ) ‘(ℜ ‘x)) = ((exp ↾ ℝ) ‘(ℜ ‘y)) ↔ (exp ‘(ℜ ‘x)) = (exp ‘(ℜ ‘y))))
20		reeff1 7410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→(0(,) +∞)
21		f1fveq 3882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→(0(,) +∞) ⋀ ((ℜ ‘x) ∈ ℝ ⋀ (ℜ ‘y) ∈ ℝ)) → (((exp ↾ ℝ) ‘(ℜ ‘x)) = ((exp ↾ ℝ) ‘(ℜ ‘y)) ↔ (ℜ ‘x) = (ℜ ‘y)))
22	20, 21	mpan 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℜ ‘x) ∈ ℝ ⋀ (ℜ ‘y) ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ) ‘(ℜ ‘x)) = ((exp ↾ ℝ) ‘(ℜ ‘y)) ↔ (ℜ ‘x) = (ℜ ‘y)))
23	19, 22	bitr3d 532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℜ ‘x) ∈ ℝ ⋀ (ℜ ‘y) ∈ ℝ) → ((exp ‘(ℜ ‘x)) = (exp ‘(ℜ ‘y)) ↔ (ℜ ‘x) = (ℜ ‘y)))
24		reclt 6758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ ℂ → (ℜ ‘x) ∈ ℝ)
25		reclt 6758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ℂ → (ℜ ‘y) ∈ ℝ)
26	23, 24, 25	syl2an 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → ((exp ‘(ℜ ‘x)) = (exp ‘(ℜ ‘y)) ↔ (ℜ ‘x) = (ℜ ‘y)))
27	16, 26	bitrd 530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → ((abs ‘(exp ‘x)) = (abs ‘(exp ‘y)) ↔ (ℜ ‘x) = (ℜ ‘y)))
28		fveq2 3730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((exp ‘x) = (exp ‘y) → (abs ‘(exp ‘x)) = (abs ‘(exp ‘y)))
29	27, 28	syl5bi 208	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → ((exp ‘x) = (exp ‘y) → (ℜ ‘x) = (ℜ ‘y)))
30		fveq2 3730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = y → (ℑ ‘v) = (ℑ ‘y))
31	30	eleq1d 1543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = y → ((ℑ ‘v) ∈ D ↔ (ℑ ‘y) ∈ D))
32	31, 5	elrab2 1910	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ S ↔ (y ∈ ℂ ⋀ (ℑ ‘y) ∈ D))
33	32	pm3.26bi 322	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ S → y ∈ ℂ)
34	29, 7, 33	syl2an 456	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ S ⋀ y ∈ S) → ((exp ‘x) = (exp ‘y) → (ℜ ‘x) = (ℜ ‘y)))
35	34	imp 350	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (exp ‘x) = (exp ‘y)) → (ℜ ‘x) = (ℜ ‘y))
36		eff1lem 8738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ℂ → (exp ‘x) = ((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘x)))))
37		eff1lem 8738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℂ → (exp ‘y) = ((abs ‘(exp ‘y)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))))
38	36, 37	eqeqan12d 1493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → ((exp ‘x) = (exp ‘y) ↔ ((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘x)))) = ((abs ‘(exp ‘y)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘y))))))
39	38	biimpa 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ (exp ‘x) = (exp ‘y)) → ((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘x)))) = ((abs ‘(exp ‘y)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))))
40	28	opreq1d 3981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((exp ‘x) = (exp ‘y) → ((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))) = ((abs ‘(exp ‘y)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))))
41	40	adantl 390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ (exp ‘x) = (exp ‘y)) → ((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))) = ((abs ‘(exp ‘y)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))))
42	41	eqeq2d 1489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ (exp ‘x) = (exp ‘y)) → (((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘x)))) = ((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))) ↔ ((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘x)))) = ((abs ‘(exp ‘y)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘y))))))
43		mulcantOLD 5703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((abs ‘(exp ‘x)) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘(i · (ℑ ‘y))) ∈ ℂ) ⋀ (abs ‘(exp ‘x)) ≠ 0) → (((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘x)))) = ((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))) ↔ (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) = (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))))
44		efclt 7312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x ∈ ℂ → (exp ‘x) ∈ ℂ)
45		absclt 6833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((exp ‘x) ∈ ℂ → (abs ‘(exp ‘x)) ∈ ℝ)
46	45	recnd 5327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((exp ‘x) ∈ ℂ → (abs ‘(exp ‘x)) ∈ ℂ)
47	44, 46	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (x ∈ ℂ → (abs ‘(exp ‘x)) ∈ ℂ)
48		imclt 6759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (x ∈ ℂ → (ℑ ‘x) ∈ ℝ)
49	48	recnd 5327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x ∈ ℂ → (ℑ ‘x) ∈ ℂ)
50		axicn 5282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ i ∈ ℂ
51		axmulcl 5285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((i ∈ ℂ ⋀ (ℑ ‘x) ∈ ℂ) → (i · (ℑ ‘x)) ∈ ℂ)
52	50, 51	mpan 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℑ ‘x) ∈ ℂ → (i · (ℑ ‘x)) ∈ ℂ)
53		efclt 7312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i · (ℑ ‘x)) ∈ ℂ → (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) ∈ ℂ)
54	49, 52, 53	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (x ∈ ℂ → (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) ∈ ℂ)
55	47, 54	jca 288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ∈ ℂ → ((abs ‘(exp ‘x)) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) ∈ ℂ))
56		imclt 6759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y ∈ ℂ → (ℑ ‘y) ∈ ℝ)
57	56	recnd 5327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y ∈ ℂ → (ℑ ‘y) ∈ ℂ)
58		axmulcl 5285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i ∈ ℂ ⋀ (ℑ ‘y) ∈ ℂ) → (i · (ℑ ‘y)) ∈ ℂ)
59	50, 58	mpan 697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℑ ‘y) ∈ ℂ → (i · (ℑ ‘y)) ∈ ℂ)
60		efclt 7312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i · (ℑ ‘y)) ∈ ℂ → (exp ‘(i · (ℑ ‘y))) ∈ ℂ)
61	57, 59, 60	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ∈ ℂ → (exp ‘(i · (ℑ ‘y))) ∈ ℂ)
62	55, 61	anim12i 333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (((abs ‘(exp ‘x)) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) ∈ ℂ) ⋀ (exp ‘(i · (ℑ ‘y))) ∈ ℂ))
63		df-3an 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs ‘(exp ‘x)) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘(i · (ℑ ‘y))) ∈ ℂ) ↔ (((abs ‘(exp ‘x)) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) ∈ ℂ) ⋀ (exp ‘(i · (ℑ ‘y))) ∈ ℂ))
64	62, 63	sylibr 200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → ((abs ‘(exp ‘x)) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘(i · (ℑ ‘y))) ∈ ℂ))
65		gt0ne0t 5630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs ‘(exp ‘x)) ∈ ℝ ⋀ 0 < (abs ‘(exp ‘x))) → (abs ‘(exp ‘x)) ≠ 0)
66	44, 45	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ∈ ℂ → (abs ‘(exp ‘x)) ∈ ℝ)
67		absgt0t 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((exp ‘x) ∈ ℂ → ((exp ‘x) ≠ 0 ↔ 0 < (abs ‘(exp ‘x))))
68	67	biimpa 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((exp ‘x) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘x) ≠ 0) → 0 < (abs ‘(exp ‘x)))
69		efne0t 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (x ∈ ℂ → (exp ‘x) ≠ 0)
70	68, 44, 69	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ∈ ℂ → 0 < (abs ‘(exp ‘x)))
71	65, 66, 70	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ ℂ → (abs ‘(exp ‘x)) ≠ 0)
72	71	adantr 391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (abs ‘(exp ‘x)) ≠ 0)
73	43, 64, 72	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘x)))) = ((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))) ↔ (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) = (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))))
74	73	adantr 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ (exp ‘x) = (exp ‘y)) → (((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘x)))) = ((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))) ↔ (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) = (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))))
75	42, 74	bitr3d 532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ (exp ‘x) = (exp ‘y)) → (((abs ‘(exp ‘x)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘x)))) = ((abs ‘(exp ‘y)) · (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))) ↔ (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) = (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))))
76	39, 75	mpbid 195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ (exp ‘x) = (exp ‘y)) → (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) = (exp ‘(i · (ℑ ‘y))))
77	76	ex 373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → ((exp ‘x) = (exp ‘y) → (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) = (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))))
78	77, 7, 33	syl2an 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ S ⋀ y ∈ S) → ((exp ‘x) = (exp ‘y) → (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) = (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))))
79		opreq2 3975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z = (ℑ ‘x) → (i · z) = (i · (ℑ ‘x)))
80	79	fveq2d 3734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z = (ℑ ‘x) → (exp ‘(i · z)) = (exp ‘(i · (ℑ ‘x))))
81		eff1i.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ F = {⟨z, w⟩∣(z ∈ D ⋀ w = (exp ‘(i · z)))}
82		fvex 3738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) ∈ V
83	80, 81, 82	fvopab4 3786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ ‘x) ∈ D → (F ‘(ℑ ‘x)) = (exp ‘(i · (ℑ ‘x))))
84		opreq2 3975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z = (ℑ ‘y) → (i · z) = (i · (ℑ ‘y)))
85	84	fveq2d 3734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z = (ℑ ‘y) → (exp ‘(i · z)) = (exp ‘(i · (ℑ ‘y))))
86		fvex 3738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp ‘(i · (ℑ ‘y))) ∈ V
87	85, 81, 86	fvopab4 3786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ ‘y) ∈ D → (F ‘(ℑ ‘y)) = (exp ‘(i · (ℑ ‘y))))
88	83, 87	eqeqan12d 1493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℑ ‘x) ∈ D ⋀ (ℑ ‘y) ∈ D) → ((F ‘(ℑ ‘x)) = (F ‘(ℑ ‘y)) ↔ (exp ‘(i · (ℑ ‘x))) = (exp ‘(i · (ℑ ‘y)))))
89		eff1i.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ A ∈ ℝ
90		eff1i.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ D = (A[,)(A + (2 · π)))
91		eff1i.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ C = {v ∈ ℂ∣(abs ‘v) = 1}
92	90, 81, 91	shftefif1o 8737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ℝ → F:D–1-1-onto→C)
93	89, 92	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ F:D–1-1-onto→C
94		f1of1 3694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (F:D–1-1-onto→C → F:D–1-1→C)
95	93, 94	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ F:D–1-1→C
96		f1fveq 3882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((F:D–1-1→C ⋀ ((ℑ ‘x) ∈ D ⋀ (ℑ ‘y) ∈ D)) → ((F ‘(ℑ ‘x)) = (F ‘(ℑ ‘y)) ↔ (ℑ ‘x) = (ℑ ‘y)))
97	95, 96	mpan 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℑ ‘x) ∈ D ⋀ (ℑ ‘y) ∈ D) → ((F ‘(ℑ ‘x)) = (F ‘(ℑ ‘y)) ↔ (ℑ ‘x) = (ℑ ‘y)))
98	88, 97	bitr3d 532	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ ‘x) ∈ D ⋀ (ℑ ‘y) ∈ D) → ((exp ‘(i · (ℑ ‘x))) = (exp ‘(i · (ℑ ‘y))) ↔ (ℑ ‘x) = (ℑ ‘y)))
99	6	pm3.27bi 326	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ S → (ℑ ‘x) ∈ D)
100	32	pm3.27bi 326	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ S → (ℑ ‘y) ∈ D)
101	98, 99, 100	syl2an 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ S ⋀ y ∈ S) → ((exp ‘(i · (ℑ ‘x))) = (exp ‘(i · (ℑ ‘y))) ↔ (ℑ ‘x) = (ℑ ‘y)))
102	78, 101	sylibd 202	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ S ⋀ y ∈ S) → ((exp ‘x) = (exp ‘y) → (ℑ ‘x) = (ℑ ‘y)))
103	102	imp 350	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (exp ‘x) = (exp ‘y)) → (ℑ ‘x) = (ℑ ‘y))
104		replimt 6762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ ℂ → x = ((ℜ ‘x) + (i · (ℑ ‘x))))
105		replimt 6762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ℂ → y = ((ℜ ‘y) + (i · (ℑ ‘y))))
106	104, 105	eqeqan12d 1493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (x = y ↔ ((ℜ ‘x) + (i · (ℑ ‘x))) = ((ℜ ‘y) + (i · (ℑ ‘y)))))
107		crut 6739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((ℜ ‘x) ∈ ℝ ⋀ (ℑ ‘x) ∈ ℝ) ⋀ ((ℜ ‘y) ∈ ℝ ⋀ (ℑ ‘y) ∈ ℝ)) → (((ℜ ‘x) + (i · (ℑ ‘x))) = ((ℜ ‘y) + (i · (ℑ ‘y))) ↔ ((ℜ ‘x) = (ℜ ‘y) ⋀ (ℑ ‘x) = (ℑ ‘y))))
108	24, 48	jca 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ ℂ → ((ℜ ‘x) ∈ ℝ ⋀ (ℑ ‘x) ∈ ℝ))
109	25, 56	jca 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ℂ → ((ℜ ‘y) ∈ ℝ ⋀ (ℑ ‘y) ∈ ℝ))
110	107, 108, 109	syl2an 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (((ℜ ‘x) + (i · (ℑ ‘x))) = ((ℜ ‘y) + (i · (ℑ ‘y))) ↔ ((ℜ ‘x) = (ℜ ‘y) ⋀ (ℑ ‘x) = (ℑ ‘y))))
111	106, 110	bitrd 530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (x = y ↔ ((ℜ ‘x) = (ℜ ‘y) ⋀ (ℑ ‘x) = (ℑ ‘y))))
112	111	biimprd 154	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (((ℜ ‘x) = (ℜ ‘y) ⋀ (ℑ ‘x) = (ℑ ‘y)) → x = y))
113	112, 7, 33	syl2an 456	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ S ⋀ y ∈ S) → (((ℜ ‘x) = (ℜ ‘y) ⋀ (ℑ ‘x) = (ℑ ‘y)) → x = y))
114	113	adantr 391	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (exp ‘x) = (exp ‘y)) → (((ℜ ‘x) = (ℜ ‘y) ⋀ (ℑ ‘x) = (ℑ ‘y)) → x = y))
115	35, 103, 114	mp2and 705	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (exp ‘x) = (exp ‘y)) → x = y)
116	115	ex 373	. . . 4 ⊢ ((x ∈ S ⋀ y ∈ S) → ((exp ‘x) = (exp ‘y) → x = y))
117	13, 116	sylbid 203	. . 3 ⊢ ((x ∈ S ⋀ y ∈ S) → (((exp ↾ S) ‘x) = ((exp ↾ S) ‘y) → x = y))
118	117	rgen2a 1702	. 2 ⊢ ∀x ∈ S ∀y ∈ S (((exp ↾ S) ‘x) = ((exp ↾ S) ‘y) → x = y)
119	1, 10, 118	mpbir2an 732	1 ⊢ (exp ↾ S):S–1-1→(ℂ ∖ {0})

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  ∀wral 1648  {crab 1651   ∖ cdif 2047   ⊆ wss 2050  {csn 2413   class class class wbr 2624  {copab 2671   ↾ cres 3178  –→wf 3184  –1-1→wf1 3185  –1-1-onto→wf1o 3187   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247  ici 5248   + caddc 5249   · cmul 5251   +∞cpnf 5495   < clt 5498  2c2 5963  (,)cioo 6358  [,)cico 6360  ℜcre 6748  ℑcim 6749  abscabs 6751  expce 7293  πcpi 7297

This theorem is referenced by:  eff1oi 8741

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-5 5975  df-6 5976  df-7 5977  df-8 5978  df-9 5979  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-ioc 6363  df-ico 6364  df-icc 6365  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301  df-pi 7302  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-subg 8111

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