Theorem elima3 3416

Description: Membership in an image. Theorem 34 of [Suppes] p. 65.

Hypothesis

Ref	Expression
elima.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elima3	⊢ (A ∈ (B “ C) ↔ ∃x(x ∈ C ⋀ ⟨x, A⟩ ∈ B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,C

Proof of Theorem elima3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elima.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
2	1	elima2 3415	. 2 ⊢ (A ∈ (B “ C) ↔ ∃x(x ∈ C ⋀ xBA))
3		df-br 2625	. . . 4 ⊢ (xBA ↔ ⟨x, A⟩ ∈ B)
4	3	anbi2i 482	. . 3 ⊢ ((x ∈ C ⋀ xBA) ↔ (x ∈ C ⋀ ⟨x, A⟩ ∈ B))
5	4	exbii 1053	. 2 ⊢ (∃x(x ∈ C ⋀ xBA) ↔ ∃x(x ∈ C ⋀ ⟨x, A⟩ ∈ B))
6	2, 5	bitr 173	1 ⊢ (A ∈ (B “ C) ↔ ∃x(x ∈ C ⋀ ⟨x, A⟩ ∈ B))

Syntax hints:   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ∈ wcel 960  ∃wex 982  Vcvv 1814  ⟨cop 2415   class class class wbr 2624   “ cima 3179

This theorem is referenced by:  hbima 3417  elimasn 3432  imaiun 3870  tz9.12lem1 4669

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197

Copyright terms: Public domain