Theorem faclbnd2 6946

Description: A lower bound for the factorial function.

Assertion

Ref	Expression
faclbnd2	⊢ (N ∈ ℕ0 → ((2↑N) / 2) ≤ (! ‘N))

Proof of Theorem faclbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 5982	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		expp1t 6575	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) → (2↑(N + 1)) = ((2↑N) · 2))
3	1, 2	mpan 697	. . . . 5 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (2↑(N + 1)) = ((2↑N) · 2))
4	3	opreq1d 3981	. . . 4 ⊢ (N ∈ ℕ0 → ((2↑(N + 1)) / (2 · 2)) = (((2↑N) · 2) / (2 · 2)))
5		sq2 6639	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
6		2t2e4 6024	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
7	5, 6	eqtr4 1501	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
8	7	opreq2i 3978	. . . 4 ⊢ ((2↑(N + 1)) / (2↑2)) = ((2↑(N + 1)) / (2 · 2))
9	4, 8	syl5eq 1522	. . 3 ⊢ (N ∈ ℕ0 → ((2↑(N + 1)) / (2↑2)) = (((2↑N) · 2) / (2 · 2)))
10		expclt 6582	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) → (2↑N) ∈ ℂ)
11	1, 10	mpan 697	. . . 4 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (2↑N) ∈ ℂ)
12	1, 1	pm3.2i 285	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ⋀ 2 ∈ ℂ)
13		2ne0 5992	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
14	13, 13	pm3.2i 285	. . . . . . 7 ⊢ (2 ≠ 0 ⋀ 2 ≠ 0)
15		divmuldivt 5782	. . . . . . 7 ⊢ (((((2↑N) ∈ ℂ ⋀ 2 ∈ ℂ) ⋀ (2 ∈ ℂ ⋀ 2 ∈ ℂ)) ⋀ (2 ≠ 0 ⋀ 2 ≠ 0)) → (((2↑N) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑N) · 2) / (2 · 2)))
16	14, 15	mpan2 698	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑N) ∈ ℂ ⋀ 2 ∈ ℂ) ⋀ (2 ∈ ℂ ⋀ 2 ∈ ℂ)) → (((2↑N) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑N) · 2) / (2 · 2)))
17	12, 16	mpan2 698	. . . . 5 ⊢ (((2↑N) ∈ ℂ ⋀ 2 ∈ ℂ) → (((2↑N) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑N) · 2) / (2 · 2)))
18	1, 17	mpan2 698	. . . 4 ⊢ ((2↑N) ∈ ℂ → (((2↑N) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑N) · 2) / (2 · 2)))
19	11, 18	syl 10	. . 3 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (((2↑N) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑N) · 2) / (2 · 2)))
20		halfclt 6035	. . . . 5 ⊢ ((2↑N) ∈ ℂ → ((2↑N) / 2) ∈ ℂ)
21		ax1id 5294	. . . . 5 ⊢ (((2↑N) / 2) ∈ ℂ → (((2↑N) / 2) · 1) = ((2↑N) / 2))
22	11, 20, 21	3syl 20	. . . 4 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (((2↑N) / 2) · 1) = ((2↑N) / 2))
23	1, 13	divid 5771	. . . . 5 ⊢ (2 / 2) = 1
24	23	opreq2i 3978	. . . 4 ⊢ (((2↑N) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑N) / 2) · 1)
25	22, 24	syl5eq 1522	. . 3 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (((2↑N) / 2) · (2 / 2)) = ((2↑N) / 2))
26	9, 19, 25	3eqtr2rd 1517	. 2 ⊢ (N ∈ ℕ0 → ((2↑N) / 2) = ((2↑(N + 1)) / (2↑2)))
27		2nn0 6117	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
28		faclbnd 6945	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ⋀ N ∈ ℕ0) → (2↑(N + 1)) ≤ ((2↑2) · (! ‘N)))
29	27, 28	mpan 697	. . 3 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (2↑(N + 1)) ≤ ((2↑2) · (! ‘N)))
30		4re 5984	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
31	5, 30	eqeltr 1547	. . . . 5 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
32		4pos 5994	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
33	32, 5	breqtrr 2645	. . . . . 6 ⊢ 0 < (2↑2)
34		ledivmultOLD 5871	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑(N + 1)) ∈ ℝ ⋀ (2↑2) ∈ ℝ ⋀ (! ‘N) ∈ ℝ) ⋀ 0 < (2↑2)) → (((2↑(N + 1)) / (2↑2)) ≤ (! ‘N) ↔ (2↑(N + 1)) ≤ ((2↑2) · (! ‘N))))
35	33, 34	mpan2 698	. . . . 5 ⊢ (((2↑(N + 1)) ∈ ℝ ⋀ (2↑2) ∈ ℝ ⋀ (! ‘N) ∈ ℝ) → (((2↑(N + 1)) / (2↑2)) ≤ (! ‘N) ↔ (2↑(N + 1)) ≤ ((2↑2) · (! ‘N))))
36	31, 35	mp3an2 906	. . . 4 ⊢ (((2↑(N + 1)) ∈ ℝ ⋀ (! ‘N) ∈ ℝ) → (((2↑(N + 1)) / (2↑2)) ≤ (! ‘N) ↔ (2↑(N + 1)) ≤ ((2↑2) · (! ‘N))))
37		peano2nn0 6126	. . . . 5 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (N + 1) ∈ ℕ0)
38		2re 5981	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
39		reexpclt 6581	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ⋀ (N + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(N + 1)) ∈ ℝ)
40	38, 39	mpan 697	. . . . 5 ⊢ ((N + 1) ∈ ℕ0 → (2↑(N + 1)) ∈ ℝ)
41	37, 40	syl 10	. . . 4 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (2↑(N + 1)) ∈ ℝ)
42		facclt 6940	. . . . 5 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (! ‘N) ∈ ℕ)
43		nnret 5931	. . . . 5 ⊢ ((! ‘N) ∈ ℕ → (! ‘N) ∈ ℝ)
44	42, 43	syl 10	. . . 4 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (! ‘N) ∈ ℝ)
45	36, 41, 44	sylanc 473	. . 3 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (((2↑(N + 1)) / (2↑2)) ≤ (! ‘N) ↔ (2↑(N + 1)) ≤ ((2↑2) · (! ‘N))))
46	29, 45	mpbird 196	. 2 ⊢ (N ∈ ℕ0 → ((2↑(N + 1)) / (2↑2)) ≤ (! ‘N))
47	26, 46	eqbrtrd 2640	1 ⊢ (N ∈ ℕ0 → ((2↑N) / 2) ≤ (! ‘N))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   · cmul 5251   / cdiv 5306   ≤ cle 5307  ℕcn 5308  ℕ₀cn0 5309   < clt 5498  2c2 5963  4c4 5965  ↑cexp 6569  !cfa 6931

This theorem is referenced by:  erelem3 7321

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-fac 6932

Copyright terms: Public domain