Theorem fctop2 7651

Description: The finite complement topology on a set A. Example 3 in [Munkres] p. 77. (This version of fctop (future) requires the Axiom of Infinity.) (Contributed by FL, 20-Aug-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
indistop.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fctop2	⊢ {x∣(x ⊆ A ⋀ ((A ∖ x) ≺ ω ⋁ x = ∅))} ∈ Top

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem fctop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfiniteOLD 4634	. . . . 5 ⊢ ((A ∖ x) ≺ ω ↔ ∃n ∈ ω (A ∖ x) ≈ n)
2	1	orbi1i 256	. . . 4 ⊢ (((A ∖ x) ≺ ω ⋁ x = ∅) ↔ (∃n ∈ ω (A ∖ x) ≈ n ⋁ x = ∅))
3	2	anbi2i 480	. . 3 ⊢ ((x ⊆ A ⋀ ((A ∖ x) ≺ ω ⋁ x = ∅)) ↔ (x ⊆ A ⋀ (∃n ∈ ω (A ∖ x) ≈ n ⋁ x = ∅)))
4	3	abbii 1575	. 2 ⊢ {x∣(x ⊆ A ⋀ ((A ∖ x) ≺ ω ⋁ x = ∅))} = {x∣(x ⊆ A ⋀ (∃n ∈ ω (A ∖ x) ≈ n ⋁ x = ∅))}
5		indistop.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
6	5	fctopOLD 7650	. 2 ⊢ {x∣(x ⊆ A ⋀ (∃n ∈ ω (A ∖ x) ≈ n ⋁ x = ∅))} ∈ Top
7	4, 6	eqeltr 1544	1 ⊢ {x∣(x ⊆ A ⋀ ((A ∖ x) ≺ ω ⋁ x = ∅))} ∈ Top

Syntax hints:   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223   = wceq 956   ∈ wcel 958  {cab 1463  ∃wrex 1646  Vcvv 1811   ∖ cdif 2044   ⊆ wss 2047  ∅c0 2280   class class class wbr 2619  ωcom 3131   ≈ cen 4364   ≺ csdm 4366  Topctop 7588

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-top 7592

Copyright terms: Public domain