Theorem fine2 10375

Description: If A is not empty, the class of all the finite intersections of A is not empty either.

Assertion

Ref	Expression
fine2	⊢ (A ∈ B → (A ≠ ∅ → (fi ‘A) ≠ ∅))

Proof of Theorem fine2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiv 10374	. . . 4 ⊢ (A ∈ B → (fi ‘A) = {x∣∃y(y ⊆ A ⋀ ∃z ∈ ω y ≈ z ⋀ x = ∩y)})
2	1	eqcomd 1472	. . 3 ⊢ (A ∈ B → {x∣∃y(y ⊆ A ⋀ ∃z ∈ ω y ≈ z ⋀ x = ∩y)} = (fi ‘A))
3	2	neeq1d 1586	. 2 ⊢ (A ∈ B → ({x∣∃y(y ⊆ A ⋀ ∃z ∈ ω y ≈ z ⋀ x = ∩y)} ≠ ∅ ↔ (fi ‘A) ≠ ∅))
4		fine 10348	. 2 ⊢ (A ≠ ∅ → {x∣∃y(y ⊆ A ⋀ ∃z ∈ ω y ≈ z ⋀ x = ∩y)} ≠ ∅)
5	3, 4	syl5bi 208	1 ⊢ (A ∈ B → (A ≠ ∅ → (fi ‘A) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ w3a 773   = wceq 953   ∈ wcel 955  ∃wex 977  {cab 1456   ≠ wne 1577  ∃wrex 1638   ⊆ wss 2037  ∅c0 2270  ∩cint 2523   class class class wbr 2609  ωcom 3121   ‘cfv 3172   ≈ cen 4348  ficfi 10372

This theorem is referenced by:  fgsb2 10449

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-1o 4117  df-en 4351  df-fiNEW 10373

Copyright terms: Public domain