Theorem grpfo 8040

Description: A group operation maps onto the group's underlying set.

Hypothesis

Ref	Expression
grpfo.1	⊢ X = ran G

Assertion

Ref	Expression
grpfo	⊢ (G ∈ Grp → G:(X × X)–onto→X)

Proof of Theorem grpfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpfo.1	. . . . . 6 ⊢ X = ran G
2	1	isgrp 8038	. . . . 5 ⊢ (G ∈ Grp → (G ∈ Grp ↔ (G:(X × X)–→X ⋀ ∀x ∈ X ∀y ∈ X ∀z ∈ X ((xGy)Gz) = (xG(yGz)) ⋀ ∃u ∈ X ∀x ∈ X ((uGx) = x ⋀ ∃y ∈ X (yGx) = u))))
3	2	ibi 594	. . . 4 ⊢ (G ∈ Grp → (G:(X × X)–→X ⋀ ∀x ∈ X ∀y ∈ X ∀z ∈ X ((xGy)Gz) = (xG(yGz)) ⋀ ∃u ∈ X ∀x ∈ X ((uGx) = x ⋀ ∃y ∈ X (yGx) = u)))
4	3	3simp1d 796	. . 3 ⊢ (G ∈ Grp → G:(X × X)–→X)
5	1	eqcomi 1482	. . 3 ⊢ ran G = X
6	4, 5	jctir 293	. 2 ⊢ (G ∈ Grp → (G:(X × X)–→X ⋀ ran G = X))
7		dffo2 3681	. 2 ⊢ (G:(X × X)–onto→X ↔ (G:(X × X)–→X ⋀ ran G = X))
8	6, 7	sylibr 200	1 ⊢ (G ∈ Grp → G:(X × X)–onto→X)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  ∃wrex 1649   × cxp 3174  ran crn 3177  –→wf 3184  –onto→wfo 3186  (class class class)co 3969  Grpcgr 8030

This theorem is referenced by:  grpcl 8041  grprndm 8051  grprn 8053  resgrprn 8091  subgres 8113  issubgi 8118  vcoprnelem 8193  nvgf 8233  ghomfo 10386  cayleylem3 10406

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-grp 8034

Copyright terms: Public domain