Theorem hbfv 3735

Description: Bound-variable hypothesis builder for function value.

Hypotheses

Ref	Expression
hbfv.1	⊢ (y ∈ F → ∀x y ∈ F)
hbfv.2	⊢ (y ∈ A → ∀x y ∈ A)

Assertion

Ref	Expression
hbfv	⊢ (y ∈ (F ‘A) → ∀x y ∈ (F ‘A))

Distinct variable groups:   y,F   y,A   x,y

Proof of Theorem hbfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 3204	. 2 ⊢ (F ‘A) = ∪{z∣(F “ {A}) = {z}}
2		hbfv.1	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ F → ∀x y ∈ F)
3		hbfv.2	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ A → ∀x y ∈ A)
4	3	hbsn 2442	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ {A} → ∀x y ∈ {A})
5	2, 4	hbima 3417	. . . . 5 ⊢ (y ∈ (F “ {A}) → ∀x y ∈ (F “ {A}))
6		ax-17 973	. . . . 5 ⊢ (y ∈ {z} → ∀x y ∈ {z})
7	5, 6	hbeq 1568	. . . 4 ⊢ ((F “ {A}) = {z} → ∀x(F “ {A}) = {z})
8	7	hbab 1470	. . 3 ⊢ (y ∈ {z∣(F “ {A}) = {z}} → ∀x y ∈ {z∣(F “ {A}) = {z}})
9	8	hbuni 2513	. 2 ⊢ (y ∈ ∪{z∣(F “ {A}) = {z}} → ∀x y ∈ ∪{z∣(F “ {A}) = {z}})
10	1, 9	hbxfr 1566	1 ⊢ (y ∈ (F ‘A) → ∀x y ∈ (F ‘A))

Syntax hints:   → wi 3  ∀wal 956   = wceq 958   ∈ wcel 960  {cab 1466  {csn 2413  ∪cuni 2507   “ cima 3179   ‘cfv 3188

This theorem is referenced by:  hbfvd 3736  hbfvd2 3737  csbfv12g 3748  fvopab2 3797  eqfnfvf 3804  elrnopabg 3806  ffnfvf 3835  abrexexlem2 3865  funiunfvf 3876  f1fvf 3881  hbiso 3898  hbrdg 3942  rdgsucopab 3952  rdgsucopabn 3953  frsucopab 3960  abianfplem 3967  hbopr 3987  dom2d 4410  unblem2 4552  unblem3 4553  inf0 4615  trcl 4655  tz9.12lem3 4671  rankid 4682  rankval4 4712  uniimadomf 4821  cardprc 4872  cardaleph 4896  alephfplem2 4908  om2uzsuc 6297  hbsum1 6983  hbsum 6984  fsumserzf 7000  isumvaltf 7193  isumnn0nna 7208  isummulc1a 7214  isumcmpi 7215  minvecdist 8581  cnlnadjlem5 9999

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain