Theorem hbopr 3987

Description: Bound-variable hypothesis builder for operation value.

Hypotheses

Ref	Expression
hbopr.1	⊢ (y ∈ A → ∀x y ∈ A)
hbopr.2	⊢ (y ∈ F → ∀x y ∈ F)
hbopr.3	⊢ (y ∈ B → ∀x y ∈ B)

Assertion

Ref	Expression
hbopr	⊢ (y ∈ (AFB) → ∀x y ∈ (AFB))

Distinct variable groups:   y,F   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbopr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-opr 3971	. 2 ⊢ (AFB) = (F ‘⟨A, B⟩)
2		hbopr.2	. . 3 ⊢ (y ∈ F → ∀x y ∈ F)
3		hbopr.1	. . . 4 ⊢ (y ∈ A → ∀x y ∈ A)
4		hbopr.3	. . . 4 ⊢ (y ∈ B → ∀x y ∈ B)
5	3, 4	hbop 2500	. . 3 ⊢ (y ∈ ⟨A, B⟩ → ∀x y ∈ ⟨A, B⟩)
6	2, 5	hbfv 3735	. 2 ⊢ (y ∈ (F ‘⟨A, B⟩) → ∀x y ∈ (F ‘⟨A, B⟩))
7	1, 6	hbxfr 1566	1 ⊢ (y ∈ (AFB) → ∀x y ∈ (AFB))

Syntax hints:   → wi 3  ∀wal 956   ∈ wcel 960  ⟨cop 2415   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969

This theorem is referenced by:  hboprd 3988  csboprg 3992  elrnoprabg 4130  oawordeulem 4194  hbneg 5374  om2uzsuc 6297  hbsum1 6983  hbsum 6984  isummulc1a 7214  fsum0diaglem2 7257  fsum0diag 7258  fsum0diag2 7259  fsum0diag4 7261  minvecdist 8581  cnlnadjlem5 9999

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fv 3204  df-opr 3971

Copyright terms: Public domain