Theorem hhssnm 9052

Description: The norm operation on a subspace.

Hypothesis

Ref	Expression
hhss.1	⊢ W = ⟨⟨( +h ↾ (H × H)), ( ·h ↾ (ℂ × H))⟩, (normh ↾ H)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhssnm	⊢ (normh ↾ H) = (norm ‘W)

Proof of Theorem hhssnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1468	. . 3 ⊢ (norm ‘W) = (norm ‘W)
2	1	nmfval 8164	. 2 ⊢ (norm ‘W) = (2nd ‘W)
3		hhss.1	. . 3 ⊢ W = ⟨⟨( +h ↾ (H × H)), ( ·h ↾ (ℂ × H))⟩, (normh ↾ H)⟩
4	3	fveq2i 3712	. 2 ⊢ (2nd ‘W) = (2nd ‘⟨⟨( +h ↾ (H × H)), ( ·h ↾ (ℂ × H))⟩, (normh ↾ H)⟩)
5		opex 2772	. . 3 ⊢ ⟨( +h ↾ (H × H)), ( ·h ↾ (ℂ × H))⟩ ∈ V
6		normf 8910	. . . . 5 ⊢ normh: ℋ –→ℝ
7		ax-hilex 8790	. . . . 5 ⊢ ℋ ∈ V
8		fex 3637	. . . . 5 ⊢ ((normh: ℋ –→ℝ ⋀ ℋ ∈ V) → normh ∈ V)
9	6, 7, 8	mp2an 695	. . . 4 ⊢ normh ∈ V
10		resexg 3378	. . . 4 ⊢ (normh ∈ V → (normh ↾ H) ∈ V)
11	9, 10	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (normh ↾ H) ∈ V
12	5, 11	op2nd 4070	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨⟨( +h ↾ (H × H)), ( ·h ↾ (ℂ × H))⟩, (normh ↾ H)⟩) = (normh ↾ H)
13	2, 4, 12	3eqtrr 1492	1 ⊢ (normh ↾ H) = (norm ‘W)

Syntax hints:   = wceq 953   ∈ wcel 955  Vcvv 1802  ⟨cop 2401   × cxp 3158   ↾ cres 3162  –→wf 3168   ‘cfv 3172  2^nd c2nd 4062  ℂcc 5204  ℝcr 5205  normcnm 8147   ℋ chil 8727   +_h cva 8728   ·_h csm 8729  norm_hcno 8733

This theorem is referenced by:  hhsst 9056  hhssmetdval 9066

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hv0cl 8794  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-nm 8157  df-hnorm 8776

Copyright terms: Public domain