Theorem ip0i 8480

Description: A slight variant of Equation 6.46 of [Ponnusamy] p. 362, where J is either 1 or -1 to represent +-1.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ X = (Base ‘U)
ip1i.2	⊢ G = ( +v ‘U)
ip1i.4	⊢ S = ( ·s ‘U)
ip1i.7	⊢ P = ( ·i ‘U)
ip1i.9	⊢ U ∈ CPreHil
ip1i.a	⊢ A ∈ X
ip1i.b	⊢ B ∈ X
ip1i.c	⊢ C ∈ X
ip1i.6	⊢ N = (norm ‘U)
ip0i.j	⊢ J ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
ip0i	⊢ ((((N ‘((AGB)G(JSC)))↑2) − ((N ‘((AGB)G(-JSC)))↑2)) + (((N ‘((AG(-1SB))G(JSC)))↑2) − ((N ‘((AG(-1SB))G(-JSC)))↑2))) = (2 · (((N ‘(AG(JSC)))↑2) − ((N ‘(AG(-JSC)))↑2)))

Proof of Theorem ip0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 5982	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		ip1i.1	. . . . . . 7 ⊢ X = (Base ‘U)
3		ip1i.6	. . . . . . 7 ⊢ N = (norm ‘U)
4		ip1i.9	. . . . . . . 8 ⊢ U ∈ CPreHil
5	4	phnvi 8471	. . . . . . 7 ⊢ U ∈ NrmCVec
6		ip1i.a	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ X
7		ip0i.j	. . . . . . . . 9 ⊢ J ∈ ℂ
8		ip1i.c	. . . . . . . . 9 ⊢ C ∈ X
9		ip1i.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ S = ( ·s ‘U)
10	2, 9	nvscl 8243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ J ∈ ℂ ⋀ C ∈ X) → (JSC) ∈ X)
11	5, 7, 8, 10	mp3an 918	. . . . . . . 8 ⊢ (JSC) ∈ X
12		ip1i.2	. . . . . . . . 9 ⊢ G = ( +v ‘U)
13	2, 12	nvgcl 8235	. . . . . . . 8 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X ⋀ (JSC) ∈ X) → (AG(JSC)) ∈ X)
14	5, 6, 11, 13	mp3an 918	. . . . . . 7 ⊢ (AG(JSC)) ∈ X
15	2, 3, 5, 14	nvcli 8284	. . . . . 6 ⊢ (N ‘(AG(JSC))) ∈ ℝ
16	15	recn 5326	. . . . 5 ⊢ (N ‘(AG(JSC))) ∈ ℂ
17	16	sqcl 6616	. . . 4 ⊢ ((N ‘(AG(JSC)))↑2) ∈ ℂ
18	7	negcl 5381	. . . . . . . . 9 ⊢ -J ∈ ℂ
19	2, 9	nvscl 8243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ -J ∈ ℂ ⋀ C ∈ X) → (-JSC) ∈ X)
20	5, 18, 8, 19	mp3an 918	. . . . . . . 8 ⊢ (-JSC) ∈ X
21	2, 12	nvgcl 8235	. . . . . . . 8 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X ⋀ (-JSC) ∈ X) → (AG(-JSC)) ∈ X)
22	5, 6, 20, 21	mp3an 918	. . . . . . 7 ⊢ (AG(-JSC)) ∈ X
23	2, 3, 5, 22	nvcli 8284	. . . . . 6 ⊢ (N ‘(AG(-JSC))) ∈ ℝ
24	23	recn 5326	. . . . 5 ⊢ (N ‘(AG(-JSC))) ∈ ℂ
25	24	sqcl 6616	. . . 4 ⊢ ((N ‘(AG(-JSC)))↑2) ∈ ℂ
26	1, 17, 25	subdi 5441	. . 3 ⊢ (2 · (((N ‘(AG(JSC)))↑2) − ((N ‘(AG(-JSC)))↑2))) = ((2 · ((N ‘(AG(JSC)))↑2)) − (2 · ((N ‘(AG(-JSC)))↑2)))
27	1, 17	mulcl 5333	. . . 4 ⊢ (2 · ((N ‘(AG(JSC)))↑2)) ∈ ℂ
28	1, 25	mulcl 5333	. . . 4 ⊢ (2 · ((N ‘(AG(-JSC)))↑2)) ∈ ℂ
29		ip1i.b	. . . . . . . 8 ⊢ B ∈ X
30	2, 3, 5, 29	nvcli 8284	. . . . . . 7 ⊢ (N ‘B) ∈ ℝ
31	30	recn 5326	. . . . . 6 ⊢ (N ‘B) ∈ ℂ
32	31	sqcl 6616	. . . . 5 ⊢ ((N ‘B)↑2) ∈ ℂ
33	1, 32	mulcl 5333	. . . 4 ⊢ (2 · ((N ‘B)↑2)) ∈ ℂ
34		pnpcan2t 5491	. . . 4 ⊢ (((2 · ((N ‘(AG(JSC)))↑2)) ∈ ℂ ⋀ (2 · ((N ‘(AG(-JSC)))↑2)) ∈ ℂ ⋀ (2 · ((N ‘B)↑2)) ∈ ℂ) → (((2 · ((N ‘(AG(JSC)))↑2)) + (2 · ((N ‘B)↑2))) − ((2 · ((N ‘(AG(-JSC)))↑2)) + (2 · ((N ‘B)↑2)))) = ((2 · ((N ‘(AG(JSC)))↑2)) − (2 · ((N ‘(AG(-JSC)))↑2))))
35	27, 28, 33, 34	mp3an 918	. . 3 ⊢ (((2 · ((N ‘(AG(JSC)))↑2)) + (2 · ((N ‘B)↑2))) − ((2 · ((N ‘(AG(-JSC)))↑2)) + (2 · ((N ‘B)↑2)))) = ((2 · ((N ‘(AG(JSC)))↑2)) − (2 · ((N ‘(AG(-JSC)))↑2)))
36	26, 35	eqtr4 1501	. 2 ⊢ (2 · (((N ‘(AG(JSC)))↑2) − ((N ‘(AG(-JSC)))↑2))) = (((2 · ((N ‘(AG(JSC)))↑2)) + (2 · ((N ‘B)↑2))) − ((2 · ((N ‘(AG(-JSC)))↑2)) + (2 · ((N ‘B)↑2))))
37		eqid 1478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘U) = (1st ‘U)
38	37	nvvc 8230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (U ∈ NrmCVec → (1st ‘U) ∈ CVec)
39	5, 38	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 ⊢ (1st ‘U) ∈ CVec
40	12	vafval 8218	. . . . . . . . . 10 ⊢ G = (1st ‘(1st ‘U))
41	40	vcabl 8172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1st ‘U) ∈ CVec → G ∈ Abel)
42	39, 41	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ G ∈ Abel
43	6, 29, 11	3pm3.2i 820	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ X ⋀ B ∈ X ⋀ (JSC) ∈ X)
44	2, 12	bafval 8219	. . . . . . . . 9 ⊢ X = ran G
45	44	abl23 8100	. . . . . . . 8 ⊢ ((G ∈ Abel ⋀ (A ∈ X ⋀ B ∈ X ⋀ (JSC) ∈ X)) → ((AGB)G(JSC)) = ((AG(JSC))GB))
46	42, 43, 45	mp2an 699	. . . . . . 7 ⊢ ((AGB)G(JSC)) = ((AG(JSC))GB)
47	46	fveq2i 3733	. . . . . 6 ⊢ (N ‘((AGB)G(JSC))) = (N ‘((AG(JSC))GB))
48	47	opreq1i 3977	. . . . 5 ⊢ ((N ‘((AGB)G(JSC)))↑2) = ((N ‘((AG(JSC))GB))↑2)
49		ax1cn 5281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
50	49	negcl 5381	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
51	2, 9	nvscl 8243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ -1 ∈ ℂ ⋀ B ∈ X) → (-1SB) ∈ X)
52	5, 50, 29, 51	mp3an 918	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1SB) ∈ X
53	6, 52, 11	3pm3.2i 820	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ X ⋀ (-1SB) ∈ X ⋀ (JSC) ∈ X)
54	44	abl23 8100	. . . . . . . 8 ⊢ ((G ∈ Abel ⋀ (A ∈ X ⋀ (-1SB) ∈ X ⋀ (JSC) ∈ X)) → ((AG(-1SB))G(JSC)) = ((AG(JSC))G(-1SB)))
55	42, 53, 54	mp2an 699	. . . . . . 7 ⊢ ((AG(-1SB))G(JSC)) = ((AG(JSC))G(-1SB))
56	55	fveq2i 3733	. . . . . 6 ⊢ (N ‘((AG(-1SB))G(JSC))) = (N ‘((AG(JSC))G(-1SB)))
57	56	opreq1i 3977	. . . . 5 ⊢ ((N ‘((AG(-1SB))G(JSC)))↑2) = ((N ‘((AG(JSC))G(-1SB)))↑2)
58	48, 57	opreq12i 3979	. . . 4 ⊢ (((N ‘((AGB)G(JSC)))↑2) + ((N ‘((AG(-1SB))G(JSC)))↑2)) = (((N ‘((AG(JSC))GB))↑2) + ((N ‘((AG(JSC))G(-1SB)))↑2))
59	2, 12, 9, 3	phpar 8479	. . . . 5 ⊢ ((U ∈ CPreHil ⋀ (AG(JSC)) ∈ X ⋀ B ∈ X) → (((N ‘((AG(JSC))GB))↑2) + ((N ‘((AG(JSC))G(-1SB)))↑2)) = (2 · (((N ‘(AG(JSC)))↑2) + ((N ‘B)↑2))))
60	4, 14, 29, 59	mp3an 918	. . . 4 ⊢ (((N ‘((AG(JSC))GB))↑2) + ((N ‘((AG(JSC))G(-1SB)))↑2)) = (2 · (((N ‘(AG(JSC)))↑2) + ((N ‘B)↑2)))
61	1, 17, 32	adddi 5338	. . . 4 ⊢ (2 · (((N ‘(AG(JSC)))↑2) + ((N ‘B)↑2))) = ((2 · ((N ‘(AG(JSC)))↑2)) + (2 · ((N ‘B)↑2)))
62	58, 60, 61	3eqtr 1502	. . 3 ⊢ (((N ‘((AGB)G(JSC)))↑2) + ((N ‘((AG(-1SB))G(JSC)))↑2)) = ((2 · ((N ‘(AG(JSC)))↑2)) + (2 · ((N ‘B)↑2)))
63	6, 29, 20	3pm3.2i 820	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ X ⋀ B ∈ X ⋀ (-JSC) ∈ X)
64	44	abl23 8100	. . . . . . . 8 ⊢ ((G ∈ Abel ⋀ (A ∈ X ⋀ B ∈ X ⋀ (-JSC) ∈ X)) → ((AGB)G(-JSC)) = ((AG(-JSC))GB))
65	42, 63, 64	mp2an 699	. . . . . . 7 ⊢ ((AGB)G(-JSC)) = ((AG(-JSC))GB)
66	65	fveq2i 3733	. . . . . 6 ⊢ (N ‘((AGB)G(-JSC))) = (N ‘((AG(-JSC))GB))
67	66	opreq1i 3977	. . . . 5 ⊢ ((N ‘((AGB)G(-JSC)))↑2) = ((N ‘((AG(-JSC))GB))↑2)
68	6, 52, 20	3pm3.2i 820	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ X ⋀ (-1SB) ∈ X ⋀ (-JSC) ∈ X)
69	44	abl23 8100	. . . . . . . 8 ⊢ ((G ∈ Abel ⋀ (A ∈ X ⋀ (-1SB) ∈ X ⋀ (-JSC) ∈ X)) → ((AG(-1SB))G(-JSC)) = ((AG(-JSC))G(-1SB)))
70	42, 68, 69	mp2an 699	. . . . . . 7 ⊢ ((AG(-1SB))G(-JSC)) = ((AG(-JSC))G(-1SB))
71	70	fveq2i 3733	. . . . . 6 ⊢ (N ‘((AG(-1SB))G(-JSC))) = (N ‘((AG(-JSC))G(-1SB)))
72	71	opreq1i 3977	. . . . 5 ⊢ ((N ‘((AG(-1SB))G(-JSC)))↑2) = ((N ‘((AG(-JSC))G(-1SB)))↑2)
73	67, 72	opreq12i 3979	. . . 4 ⊢ (((N ‘((AGB)G(-JSC)))↑2) + ((N ‘((AG(-1SB))G(-JSC)))↑2)) = (((N ‘((AG(-JSC))GB))↑2) + ((N ‘((AG(-JSC))G(-1SB)))↑2))
74	2, 12, 9, 3	phpar 8479	. . . . 5 ⊢ ((U ∈ CPreHil ⋀ (AG(-JSC)) ∈ X ⋀ B ∈ X) → (((N ‘((AG(-JSC))GB))↑2) + ((N ‘((AG(-JSC))G(-1SB)))↑2)) = (2 · (((N ‘(AG(-JSC)))↑2) + ((N ‘B)↑2))))
75	4, 22, 29, 74	mp3an 918	. . . 4 ⊢ (((N ‘((AG(-JSC))GB))↑2) + ((N ‘((AG(-JSC))G(-1SB)))↑2)) = (2 · (((N ‘(AG(-JSC)))↑2) + ((N ‘B)↑2)))
76	1, 25, 32	adddi 5338	. . . 4 ⊢ (2 · (((N ‘(AG(-JSC)))↑2) + ((N ‘B)↑2))) = ((2 · ((N ‘(AG(-JSC)))↑2)) + (2 · ((N ‘B)↑2)))
77	73, 75, 76	3eqtr 1502	. . 3 ⊢ (((N ‘((AGB)G(-JSC)))↑2) + ((N ‘((AG(-1SB))G(-JSC)))↑2)) = ((2 · ((N ‘(AG(-JSC)))↑2)) + (2 · ((N ‘B)↑2)))
78	62, 77	opreq12i 3979	. 2 ⊢ ((((N ‘((AGB)G(JSC)))↑2) + ((N ‘((AG(-1SB))G(JSC)))↑2)) − (((N ‘((AGB)G(-JSC)))↑2) + ((N ‘((AG(-1SB))G(-JSC)))↑2))) = (((2 · ((N ‘(AG(JSC)))↑2)) + (2 · ((N ‘B)↑2))) − ((2 · ((N ‘(AG(-JSC)))↑2)) + (2 · ((N ‘B)↑2))))
79	2, 12	nvgcl 8235	. . . . . . . 8 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X ⋀ B ∈ X) → (AGB) ∈ X)
80	5, 6, 29, 79	mp3an 918	. . . . . . 7 ⊢ (AGB) ∈ X
81	2, 12	nvgcl 8235	. . . . . . 7 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (AGB) ∈ X ⋀ (JSC) ∈ X) → ((AGB)G(JSC)) ∈ X)
82	5, 80, 11, 81	mp3an 918	. . . . . 6 ⊢ ((AGB)G(JSC)) ∈ X
83	2, 3, 5, 82	nvcli 8284	. . . . 5 ⊢ (N ‘((AGB)G(JSC))) ∈ ℝ
84	83	recn 5326	. . . 4 ⊢ (N ‘((AGB)G(JSC))) ∈ ℂ
85	84	sqcl 6616	. . 3 ⊢ ((N ‘((AGB)G(JSC)))↑2) ∈ ℂ
86	2, 12	nvgcl 8235	. . . . . . . 8 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X ⋀ (-1SB) ∈ X) → (AG(-1SB)) ∈ X)
87	5, 6, 52, 86	mp3an 918	. . . . . . 7 ⊢ (AG(-1SB)) ∈ X
88	2, 12	nvgcl 8235	. . . . . . 7 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (AG(-1SB)) ∈ X ⋀ (JSC) ∈ X) → ((AG(-1SB))G(JSC)) ∈ X)
89	5, 87, 11, 88	mp3an 918	. . . . . 6 ⊢ ((AG(-1SB))G(JSC)) ∈ X
90	2, 3, 5, 89	nvcli 8284	. . . . 5 ⊢ (N ‘((AG(-1SB))G(JSC))) ∈ ℝ
91	90	recn 5326	. . . 4 ⊢ (N ‘((AG(-1SB))G(JSC))) ∈ ℂ
92	91	sqcl 6616	. . 3 ⊢ ((N ‘((AG(-1SB))G(JSC)))↑2) ∈ ℂ
93	2, 12	nvgcl 8235	. . . . . . 7 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (AGB) ∈ X ⋀ (-JSC) ∈ X) → ((AGB)G(-JSC)) ∈ X)
94	5, 80, 20, 93	mp3an 918	. . . . . 6 ⊢ ((AGB)G(-JSC)) ∈ X
95	2, 3, 5, 94	nvcli 8284	. . . . 5 ⊢ (N ‘((AGB)G(-JSC))) ∈ ℝ
96	95	recn 5326	. . . 4 ⊢ (N ‘((AGB)G(-JSC))) ∈ ℂ
97	96	sqcl 6616	. . 3 ⊢ ((N ‘((AGB)G(-JSC)))↑2) ∈ ℂ
98	2, 12	nvgcl 8235	. . . . . . 7 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (AG(-1SB)) ∈ X ⋀ (-JSC) ∈ X) → ((AG(-1SB))G(-JSC)) ∈ X)
99	5, 87, 20, 98	mp3an 918	. . . . . 6 ⊢ ((AG(-1SB))G(-JSC)) ∈ X
100	2, 3, 5, 99	nvcli 8284	. . . . 5 ⊢ (N ‘((AG(-1SB))G(-JSC))) ∈ ℝ
101	100	recn 5326	. . . 4 ⊢ (N ‘((AG(-1SB))G(-JSC))) ∈ ℂ
102	101	sqcl 6616	. . 3 ⊢ ((N ‘((AG(-1SB))G(-JSC)))↑2) ∈ ℂ
103	85, 92, 97, 102	addsub4 5486	. 2 ⊢ ((((N ‘((AGB)G(JSC)))↑2) + ((N ‘((AG(-1SB))G(JSC)))↑2)) − (((N ‘((AGB)G(-JSC)))↑2) + ((N ‘((AG(-1SB))G(-JSC)))↑2))) = ((((N ‘((AGB)G(JSC)))↑2) − ((N ‘((AGB)G(-JSC)))↑2)) + (((N ‘((AG(-1SB))G(JSC)))↑2) − ((N ‘((AG(-1SB))G(-JSC)))↑2)))
104	36, 78, 103	3eqtr2r 1505	1 ⊢ ((((N ‘((AGB)G(JSC)))↑2) − ((N ‘((AGB)G(-JSC)))↑2)) + (((N ‘((AG(-1SB))G(JSC)))↑2) − ((N ‘((AG(-1SB))G(-JSC)))↑2))) = (2 · (((N ‘(AG(JSC)))↑2) − ((N ‘(AG(-JSC)))↑2)))

Syntax hints:   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  1^st c1st 4083  ℂcc 5244  1c1 5247   + caddc 5249   · cmul 5251   − cmin 5304  -cneg 5305  2c2 5963  ↑cexp 6569  Abelcabl 8095  CVeccvc 8160  NrmCVeccnv 8199   +_v cpv 8200  Basecba 8201   ·_s cns 8202  normcnm 8205   ·_i cip 8345  CPreHilcphl 8467

This theorem is referenced by:  ip1ilem 8481

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-grp 8034  df-gid 8035  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215  df-ph 8468

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