Theorem isopn3 7694

Description: A subset is open iff it equals its own interior.

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ X = ∪J

Assertion

Ref	Expression
isopn3	⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → (S ∈ J ↔ ((int ‘J) ‘S) = S))

Proof of Theorem isopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . . 5 ⊢ X = ∪J
2	1	ntrval 7673	. . . 4 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → ((int ‘J) ‘S) = ∪{x ∈ J∣x ⊆ S})
3		unimax 2536	. . . 4 ⊢ (S ∈ J → ∪{x ∈ J∣x ⊆ S} = S)
4	2, 3	sylan9eq 1530	. . 3 ⊢ (((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) ⋀ S ∈ J) → ((int ‘J) ‘S) = S)
5	4	ex 373	. 2 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → (S ∈ J → ((int ‘J) ‘S) = S))
6		eleq1 1537	. . 3 ⊢ (((int ‘J) ‘S) = S → (((int ‘J) ‘S) ∈ J ↔ S ∈ J))
7	1	ntropn 7681	. . 3 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → ((int ‘J) ‘S) ∈ J)
8	6, 7	syl5cbi 209	. 2 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → (((int ‘J) ‘S) = S → S ∈ J))
9	5, 8	impbid 518	1 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → (S ∈ J ↔ ((int ‘J) ‘S) = S))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  {crab 1651   ⊆ wss 2050  ∪cuni 2507   ‘cfv 3188  Topctop 7590  intcnt 7658

This theorem is referenced by:  ntridm 7696  ntrtop 7698  ntr0 7707

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-top 7594  df-ntr 7661

Copyright terms: Public domain