Theorem lerect 5887

Description: The reciprocal of both sides of 'less than or equal to'.

Assertion

Ref	Expression
lerect	⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ 0 < A) ⋀ (B ∈ ℝ ⋀ 0 < B)) → (A ≤ B ↔ (1 / B) ≤ (1 / A)))

Proof of Theorem lerect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2628	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → (0 < A ↔ 0 < if(A ∈ ℝ, A, 0)))
2	1	anbi1d 619	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → ((0 < A ⋀ 0 < B) ↔ (0 < if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < B)))
3		breq1 2627	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → (A ≤ B ↔ if(A ∈ ℝ, A, 0) ≤ B))
4		opreq2 3975	. . . . . . 7 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → (1 / A) = (1 / if(A ∈ ℝ, A, 0)))
5	4	breq2d 2635	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → ((1 / B) ≤ (1 / A) ↔ (1 / B) ≤ (1 / if(A ∈ ℝ, A, 0))))
6	3, 5	bibi12d 631	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → ((A ≤ B ↔ (1 / B) ≤ (1 / A)) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) ≤ B ↔ (1 / B) ≤ (1 / if(A ∈ ℝ, A, 0)))))
7	2, 6	imbi12d 628	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → (((0 < A ⋀ 0 < B) → (A ≤ B ↔ (1 / B) ≤ (1 / A))) ↔ ((0 < if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < B) → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) ≤ B ↔ (1 / B) ≤ (1 / if(A ∈ ℝ, A, 0))))))
8		breq2 2628	. . . . . 6 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → (0 < B ↔ 0 < if(B ∈ ℝ, B, 0)))
9	8	anbi2d 618	. . . . 5 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → ((0 < if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < B) ↔ (0 < if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < if(B ∈ ℝ, B, 0))))
10		breq2 2628	. . . . . 6 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) ≤ B ↔ if(A ∈ ℝ, A, 0) ≤ if(B ∈ ℝ, B, 0)))
11		opreq2 3975	. . . . . . 7 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → (1 / B) = (1 / if(B ∈ ℝ, B, 0)))
12	11	breq1d 2634	. . . . . 6 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → ((1 / B) ≤ (1 / if(A ∈ ℝ, A, 0)) ↔ (1 / if(B ∈ ℝ, B, 0)) ≤ (1 / if(A ∈ ℝ, A, 0))))
13	10, 12	bibi12d 631	. . . . 5 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → (( if(A ∈ ℝ, A, 0) ≤ B ↔ (1 / B) ≤ (1 / if(A ∈ ℝ, A, 0))) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) ≤ if(B ∈ ℝ, B, 0) ↔ (1 / if(B ∈ ℝ, B, 0)) ≤ (1 / if(A ∈ ℝ, A, 0)))))
14	9, 13	imbi12d 628	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → (((0 < if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < B) → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) ≤ B ↔ (1 / B) ≤ (1 / if(A ∈ ℝ, A, 0)))) ↔ ((0 < if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < if(B ∈ ℝ, B, 0)) → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) ≤ if(B ∈ ℝ, B, 0) ↔ (1 / if(B ∈ ℝ, B, 0)) ≤ (1 / if(A ∈ ℝ, A, 0))))))
15		0re 5452	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
16	15	elimel 2398	. . . . 5 ⊢ if(A ∈ ℝ, A, 0) ∈ ℝ
17	15	elimel 2398	. . . . 5 ⊢ if(B ∈ ℝ, B, 0) ∈ ℝ
18	16, 17	lerec 5882	. . . 4 ⊢ ((0 < if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < if(B ∈ ℝ, B, 0)) → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) ≤ if(B ∈ ℝ, B, 0) ↔ (1 / if(B ∈ ℝ, B, 0)) ≤ (1 / if(A ∈ ℝ, A, 0))))
19	7, 14, 18	dedth2h 2391	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → ((0 < A ⋀ 0 < B) → (A ≤ B ↔ (1 / B) ≤ (1 / A))))
20	19	imp 350	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) ⋀ (0 < A ⋀ 0 < B)) → (A ≤ B ↔ (1 / B) ≤ (1 / A)))
21	20	an4s 510	1 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ 0 < A) ⋀ (B ∈ ℝ ⋀ 0 < B)) → (A ≤ B ↔ (1 / B) ≤ (1 / A)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ifcif 2365   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   / cdiv 5306   ≤ cle 5307   < clt 5498

This theorem is referenced by:  lerec2t 5891  ledivdivt 5892  lediv2t 5893  lediv12it 5898  reccnv 7218  erelem3 7321  ef1tllem 7381  projlem26 9206  nmcopexlem5 9950  nmcfnexlem5 9979  lediv2itALT 10366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715

Copyright terms: Public domain