Theorem minvecle 8517

Description: The minimizing vector from minveceu 8514 has the smallest distance.

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ X = (Base ‘U)
minvec.m	⊢ M = ( −v ‘U)
minvec.n	⊢ N = (norm ‘U)
minvec.y	⊢ Y = (Base ‘W)
minvec.1	⊢ R = {x∣∃y ∈ Y x = -(N ‘(AMy))}
minvec.2	⊢ P = -sup(R, ℝ, < )
minvec.u	⊢ U ∈ CPreHil
minvec.w	⊢ W ∈ ((SubSp ‘U) ∩ CBan)
minvec.a	⊢ A ∈ X
minveccl.q	⊢ Q = ∪{b ∈ Y∣(N ‘(AMb)) = P}

Assertion

Ref	Expression
minvecle	⊢ (B ∈ Y → (N ‘(AMQ)) ≤ (N ‘(AMB)))

Distinct variable groups:   x,b,y,A   x,B,y   M,b,x,y   N,b,x,y   P,b   R,b   x,U,y   W,b,x,y   Y,b,x,y

Proof of Theorem minvecle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.1	. . 3 ⊢ R = {x∣∃y ∈ Y x = -(N ‘(AMy))}
2		minvec.u	. . 3 ⊢ U ∈ CPreHil
3		minvec.m	. . 3 ⊢ M = ( −v ‘U)
4		minvec.n	. . 3 ⊢ N = (norm ‘U)
5		minvec.x	. . 3 ⊢ X = (Base ‘U)
6		inss1 2220	. . . 4 ⊢ ((SubSp ‘U) ∩ CBan) ⊆ (SubSp ‘U)
7		minvec.w	. . . 4 ⊢ W ∈ ((SubSp ‘U) ∩ CBan)
8	6, 7	sselii 2056	. . 3 ⊢ W ∈ (SubSp ‘U)
9		minvec.y	. . 3 ⊢ Y = (Base ‘W)
10		minvec.a	. . 3 ⊢ A ∈ X
11		minvec.2	. . 3 ⊢ P = -sup(R, ℝ, < )
12	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11	minveclem13 8488	. 2 ⊢ (B ∈ Y → P ≤ (N ‘(AMB)))
13		minveccl.q	. . 3 ⊢ Q = ∪{b ∈ Y∣(N ‘(AMb)) = P}
14	5, 3, 4, 9, 1, 11, 2, 7, 10, 13	minvecdist 8516	. 2 ⊢ (N ‘(AMQ)) = P
15	12, 14	syl5eqbr 2638	1 ⊢ (B ∈ Y → (N ‘(AMQ)) ≤ (N ‘(AMB)))

Syntax hints:   → wi 3   = wceq 953   ∈ wcel 955  {cab 1456  ∃wrex 1638  {crab 1640   ∩ cin 2036  ∪cuni 2493   class class class wbr 2609   ‘cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  ℝcr 5205  -cneg 5265   ≤ cle 5267   < clt 5458  Basecba 8143   −_v cnsb 8146  normcnm 8147  SubSpcss 8314  CPreHilcphl 8402  CBancbn 8453

This theorem is referenced by:  minveclem39 8518

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-q 6194  df-rp 6219  df-seq1 6245  df-uz 6350  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913  df-met 7732  df-lm 7860  df-cau 7861  df-cmet 7862  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ims 8158  df-ssp 8315  df-ph 8403  df-bn 8454

Copyright terms: Public domain