Theorem minveclem35 8510

Description: Lemma for minveceu 8514.

Hypotheses

Ref	Expression
minvec35.x	⊢ X = (Base ‘U)
minvec35.g	⊢ G = ( +v ‘U)
minvec35.m	⊢ M = ( −v ‘U)
minvec35.s	⊢ S = ( ·s ‘U)
minvec35.n	⊢ N = (norm ‘U)
minvec35.y	⊢ Y = (Base ‘W)
minvec35.u	⊢ U ∈ CPreHil
minvec35.a	⊢ A ∈ X

Assertion

Ref	Expression
minveclem35	⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (N ‘((AMa)G(AMb))) = (2 · (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))))

Distinct variable group:   a,b

Proof of Theorem minveclem35

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec35.a	. . . . 5 ⊢ A ∈ X
2		minvec35.u	. . . . . . 7 ⊢ U ∈ CPreHil
3	2	phnvi 8406	. . . . . 6 ⊢ U ∈ NrmCVec
4		minvec35.x	. . . . . . 7 ⊢ X = (Base ‘U)
5		minvec35.g	. . . . . . 7 ⊢ G = ( +v ‘U)
6		minvec35.m	. . . . . . 7 ⊢ M = ( −v ‘U)
7	4, 5, 6	nvaddsub4 8221	. . . . . 6 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (A ∈ X ⋀ A ∈ X) ⋀ (a ∈ X ⋀ b ∈ X)) → ((AGA)M(aGb)) = ((AMa)G(AMb)))
8	3, 7	mp3an1 900	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ X ⋀ A ∈ X) ⋀ (a ∈ X ⋀ b ∈ X)) → ((AGA)M(aGb)) = ((AMa)G(AMb)))
9	1, 1, 8	mpanl12 706	. . . 4 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → ((AGA)M(aGb)) = ((AMa)G(AMb)))
10	4, 5	nvgcl 8179	. . . . . 6 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (aGb) ∈ X)
11	3, 10	mp3an1 900	. . . . 5 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (aGb) ∈ X)
12		minvec35.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ S = ( ·s ‘U)
13	4, 5, 12	nv2 8193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X) → (AGA) = (2SA))
14	3, 1, 13	mp2an 695	. . . . . . . 8 ⊢ (AGA) = (2SA)
15	14	a1i 8	. . . . . . 7 ⊢ ((aGb) ∈ X → (AGA) = (2SA))
16		2cn 5927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		2ne0 5937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
18	16, 17	recid 5696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
19	18	opreq1i 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (1 / 2))S(aGb)) = (1S(aGb))
20	19	a1i 8	. . . . . . . 8 ⊢ ((aGb) ∈ X → ((2 · (1 / 2))S(aGb)) = (1S(aGb)))
21	16, 17	reccl 5682	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
22	4, 12	nvsass 8189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (2 ∈ ℂ ⋀ (1 / 2) ∈ ℂ ⋀ (aGb) ∈ X)) → ((2 · (1 / 2))S(aGb)) = (2S((1 / 2)S(aGb))))
23	3, 22	mpan 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ⋀ (1 / 2) ∈ ℂ ⋀ (aGb) ∈ X) → ((2 · (1 / 2))S(aGb)) = (2S((1 / 2)S(aGb))))
24	16, 21, 23	mp3an12 903	. . . . . . . 8 ⊢ ((aGb) ∈ X → ((2 · (1 / 2))S(aGb)) = (2S((1 / 2)S(aGb))))
25	4, 12	nvsid 8188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (aGb) ∈ X) → (1S(aGb)) = (aGb))
26	3, 25	mpan 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((aGb) ∈ X → (1S(aGb)) = (aGb))
27	20, 24, 26	3eqtr3rd 1508	. . . . . . 7 ⊢ ((aGb) ∈ X → (aGb) = (2S((1 / 2)S(aGb))))
28	15, 27	opreq12d 3963	. . . . . 6 ⊢ ((aGb) ∈ X → ((AGA)M(aGb)) = ((2SA)M(2S((1 / 2)S(aGb)))))
29	4, 12	nvscl 8187	. . . . . . . 8 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (1 / 2) ∈ ℂ ⋀ (aGb) ∈ X) → ((1 / 2)S(aGb)) ∈ X)
30	3, 21, 29	mp3an12 903	. . . . . . 7 ⊢ ((aGb) ∈ X → ((1 / 2)S(aGb)) ∈ X)
31	4, 6, 12	nvmdi 8210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (2 ∈ ℂ ⋀ A ∈ X ⋀ ((1 / 2)S(aGb)) ∈ X)) → (2S(AM((1 / 2)S(aGb)))) = ((2SA)M(2S((1 / 2)S(aGb)))))
32	3, 31	mpan 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ⋀ A ∈ X ⋀ ((1 / 2)S(aGb)) ∈ X) → (2S(AM((1 / 2)S(aGb)))) = ((2SA)M(2S((1 / 2)S(aGb)))))
33	16, 1, 32	mp3an12 903	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2)S(aGb)) ∈ X → (2S(AM((1 / 2)S(aGb)))) = ((2SA)M(2S((1 / 2)S(aGb)))))
34	30, 33	syl 10	. . . . . 6 ⊢ ((aGb) ∈ X → (2S(AM((1 / 2)S(aGb)))) = ((2SA)M(2S((1 / 2)S(aGb)))))
35	28, 34	eqtr4d 1502	. . . . 5 ⊢ ((aGb) ∈ X → ((AGA)M(aGb)) = (2S(AM((1 / 2)S(aGb)))))
36	11, 35	syl 10	. . . 4 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → ((AGA)M(aGb)) = (2S(AM((1 / 2)S(aGb)))))
37	9, 36	eqtr3d 1501	. . 3 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → ((AMa)G(AMb)) = (2S(AM((1 / 2)S(aGb)))))
38	37	fveq2d 3713	. 2 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (N ‘((AMa)G(AMb))) = (N ‘(2S(AM((1 / 2)S(aGb))))))
39	11, 30	syl 10	. . . 4 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → ((1 / 2)S(aGb)) ∈ X)
40	4, 6	nvmcl 8207	. . . . 5 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X ⋀ ((1 / 2)S(aGb)) ∈ X) → (AM((1 / 2)S(aGb))) ∈ X)
41	3, 1, 40	mp3an12 903	. . . 4 ⊢ (((1 / 2)S(aGb)) ∈ X → (AM((1 / 2)S(aGb))) ∈ X)
42	39, 41	syl 10	. . 3 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (AM((1 / 2)S(aGb))) ∈ X)
43		2re 5926	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
44		0re 5412	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
45		2pos 5936	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
46	44, 43, 45	ltlei 5554	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 2
47		minvec35.n	. . . . . 6 ⊢ N = (norm ‘U)
48	4, 12, 47	nvsge0 8230	. . . . 5 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (2 ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ 2) ⋀ (AM((1 / 2)S(aGb))) ∈ X) → (N ‘(2S(AM((1 / 2)S(aGb))))) = (2 · (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))))
49	3, 48	mp3an1 900	. . . 4 ⊢ (((2 ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ 2) ⋀ (AM((1 / 2)S(aGb))) ∈ X) → (N ‘(2S(AM((1 / 2)S(aGb))))) = (2 · (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))))
50	43, 46, 49	mpanl12 706	. . 3 ⊢ ((AM((1 / 2)S(aGb))) ∈ X → (N ‘(2S(AM((1 / 2)S(aGb))))) = (2 · (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))))
51	42, 50	syl 10	. 2 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (N ‘(2S(AM((1 / 2)S(aGb))))) = (2 · (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))))
52	38, 51	eqtrd 1499	1 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (N ‘((AMa)G(AMb))) = (2 · (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 773   = wceq 953   ∈ wcel 955   class class class wbr 2609   ‘cfv 3172  (class class class)co 3948  ℂcc 5204  ℝcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   · cmul 5211   / cdiv 5266   ≤ cle 5267  2c2 5908  NrmCVeccnv 8141   +_v cpv 8142  Basecba 8143   ·_s cns 8144   −_v cnsb 8146  normcnm 8147  CPreHilcphl 8402

This theorem is referenced by:  minveclem38 8513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-2 5917  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ph 8403

Copyright terms: Public domain