Theorem minveclem37 8512

Description: Lemma for minveceu 8514.

Hypotheses

Ref	Expression
minvec35.x	⊢ X = (Base ‘U)
minvec35.g	⊢ G = ( +v ‘U)
minvec35.m	⊢ M = ( −v ‘U)
minvec35.s	⊢ S = ( ·s ‘U)
minvec35.n	⊢ N = (norm ‘U)
minvec35.y	⊢ Y = (Base ‘W)
minvec35.u	⊢ U ∈ CPreHil
minvec35.a	⊢ A ∈ X
minvec36.w	⊢ W ∈ (SubSp ‘U)
minvec36.2	⊢ P = -sup(R, ℝ, < )
minvec36.1	⊢ R = {x∣∃y ∈ Y x = -(N ‘(AMy))}

Assertion

Ref	Expression
minveclem37	⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → P ≤ (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,G,y   x,M,y   x,N,y   x,S,y   x,U,y   x,W,y   x,Y,y   a,b,x,y

Proof of Theorem minveclem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec35.u	. . . . . 6 ⊢ U ∈ CPreHil
2	1	phnvi 8406	. . . . 5 ⊢ U ∈ NrmCVec
3		minvec36.w	. . . . 5 ⊢ W ∈ (SubSp ‘U)
4		minvec35.y	. . . . . 6 ⊢ Y = (Base ‘W)
5		minvec35.g	. . . . . 6 ⊢ G = ( +v ‘U)
6		eqid 1468	. . . . . 6 ⊢ ( +v ‘W) = ( +v ‘W)
7		eqid 1468	. . . . . 6 ⊢ (SubSp ‘U) = (SubSp ‘U)
8	4, 5, 6, 7	sspgval 8322	. . . . 5 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ (SubSp ‘U)) ⋀ (a ∈ Y ⋀ b ∈ Y)) → (a( +v ‘W)b) = (aGb))
9	2, 3, 8	mpanl12 706	. . . 4 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (a( +v ‘W)b) = (aGb))
10	1, 3	minveclem1 8476	. . . . 5 ⊢ W ∈ NrmCVec
11	4, 6	nvgcl 8179	. . . . 5 ⊢ ((W ∈ NrmCVec ⋀ a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (a( +v ‘W)b) ∈ Y)
12	10, 11	mp3an1 900	. . . 4 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (a( +v ‘W)b) ∈ Y)
13	9, 12	eqeltrrd 1541	. . 3 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (aGb) ∈ Y)
14		2cn 5927	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		2ne0 5937	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
16	14, 15	reccl 5682	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
17		minvec35.s	. . . . . . 7 ⊢ S = ( ·s ‘U)
18		eqid 1468	. . . . . . 7 ⊢ ( ·s ‘W) = ( ·s ‘W)
19	4, 17, 18, 7	sspsval 8324	. . . . . 6 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ (SubSp ‘U)) ⋀ ((1 / 2) ∈ ℂ ⋀ (aGb) ∈ Y)) → ((1 / 2)( ·s ‘W)(aGb)) = ((1 / 2)S(aGb)))
20	2, 3, 19	mpanl12 706	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ⋀ (aGb) ∈ Y) → ((1 / 2)( ·s ‘W)(aGb)) = ((1 / 2)S(aGb)))
21	16, 20	mpan 693	. . . 4 ⊢ ((aGb) ∈ Y → ((1 / 2)( ·s ‘W)(aGb)) = ((1 / 2)S(aGb)))
22	4, 18	nvscl 8187	. . . . 5 ⊢ ((W ∈ NrmCVec ⋀ (1 / 2) ∈ ℂ ⋀ (aGb) ∈ Y) → ((1 / 2)( ·s ‘W)(aGb)) ∈ Y)
23	10, 16, 22	mp3an12 903	. . . 4 ⊢ ((aGb) ∈ Y → ((1 / 2)( ·s ‘W)(aGb)) ∈ Y)
24	21, 23	eqeltrrd 1541	. . 3 ⊢ ((aGb) ∈ Y → ((1 / 2)S(aGb)) ∈ Y)
25	13, 24	syl 10	. 2 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → ((1 / 2)S(aGb)) ∈ Y)
26		minvec36.1	. . 3 ⊢ R = {x∣∃y ∈ Y x = -(N ‘(AMy))}
27		minvec35.m	. . 3 ⊢ M = ( −v ‘U)
28		minvec35.n	. . 3 ⊢ N = (norm ‘U)
29		minvec35.x	. . 3 ⊢ X = (Base ‘U)
30		minvec35.a	. . 3 ⊢ A ∈ X
31		minvec36.2	. . 3 ⊢ P = -sup(R, ℝ, < )
32	26, 1, 27, 28, 29, 3, 4, 30, 31	minveclem13 8488	. 2 ⊢ (((1 / 2)S(aGb)) ∈ Y → P ≤ (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))))
33	25, 32	syl 10	1 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → P ≤ (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 953   ∈ wcel 955  {cab 1456  ∃wrex 1638   class class class wbr 2609   ‘cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  ℂcc 5204  ℝcr 5205  1c1 5207  -cneg 5265   / cdiv 5266   ≤ cle 5267   < clt 5458  2c2 5908  NrmCVeccnv 8141   +_v cpv 8142  Basecba 8143   ·_s cns 8144   −_v cnsb 8146  normcnm 8147  SubSpcss 8314  CPreHilcphl 8402

This theorem is referenced by:  minveclem38 8513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-2 5917  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ssp 8315  df-ph 8403

Copyright terms: Public domain