Theorem minveclem38 8513

Description: Lemma for minveceu 8514.

Hypotheses

Ref	Expression
minvec35.x	⊢ X = (Base ‘U)
minvec35.g	⊢ G = ( +v ‘U)
minvec35.m	⊢ M = ( −v ‘U)
minvec35.s	⊢ S = ( ·s ‘U)
minvec35.n	⊢ N = (norm ‘U)
minvec35.y	⊢ Y = (Base ‘W)
minvec35.u	⊢ U ∈ CPreHil
minvec35.a	⊢ A ∈ X
minvec36.w	⊢ W ∈ (SubSp ‘U)
minvec36.2	⊢ P = -sup(R, ℝ, < )
minvec36.1	⊢ R = {x∣∃y ∈ Y x = -(N ‘(AMy))}

Assertion

Ref	Expression
minveclem38	⊢ (((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) ⋀ ((N ‘(AMa)) = P ⋀ (N ‘(AMb)) = P)) → (N ‘(aMb)) ≤ 0)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,G,y   x,M,y   x,N,y   x,S,y   x,U,y   x,W,y   x,Y,y   a,b,x,y

Proof of Theorem minveclem38

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec35.x	. . . . . 6 ⊢ X = (Base ‘U)
2		minvec35.g	. . . . . 6 ⊢ G = ( +v ‘U)
3		minvec35.m	. . . . . 6 ⊢ M = ( −v ‘U)
4		minvec35.s	. . . . . 6 ⊢ S = ( ·s ‘U)
5		minvec35.n	. . . . . 6 ⊢ N = (norm ‘U)
6		minvec35.y	. . . . . 6 ⊢ Y = (Base ‘W)
7		minvec35.u	. . . . . 6 ⊢ U ∈ CPreHil
8		minvec35.a	. . . . . 6 ⊢ A ∈ X
9		minvec36.w	. . . . . 6 ⊢ W ∈ (SubSp ‘U)
10		minvec36.2	. . . . . 6 ⊢ P = -sup(R, ℝ, < )
11		minvec36.1	. . . . . 6 ⊢ R = {x∣∃y ∈ Y x = -(N ‘(AMy))}
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem36 8511	. . . . 5 ⊢ (((a ∈ X ⋀ b ∈ X) ⋀ ((N ‘(AMa)) = P ⋀ (N ‘(AMb)) = P)) → ((N ‘(aMb))↑2) = ((2 · ((P↑2) + (P↑2))) − ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2)))
13	7, 9, 6, 1	minveclem3 8478	. . . . . . 7 ⊢ Y ⊆ X
14	13	sseli 2055	. . . . . 6 ⊢ (a ∈ Y → a ∈ X)
15	13	sseli 2055	. . . . . 6 ⊢ (b ∈ Y → b ∈ X)
16	14, 15	anim12i 333	. . . . 5 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (a ∈ X ⋀ b ∈ X))
17	12, 16	sylan 448	. . . 4 ⊢ (((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) ⋀ ((N ‘(AMa)) = P ⋀ (N ‘(AMb)) = P)) → ((N ‘(aMb))↑2) = ((2 · ((P↑2) + (P↑2))) − ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2)))
18	11, 7, 3, 5, 1, 9, 6, 8, 10	minveclem12 8487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ P ∈ ℝ
19	18	resqcl 6554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (P↑2) ∈ ℝ
20		4re 5929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℝ
21		0re 5412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
22		4pos 5939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 4
23	21, 20, 22	ltlei 5554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 4
24	20, 23	pm3.2i 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ 4)
25		lemul2it 5795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((P↑2) ∈ ℝ ⋀ ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2) ∈ ℝ ⋀ (4 ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ 4)) ⋀ (P↑2) ≤ ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)) → (4 · (P↑2)) ≤ (4 · ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)))
26	24, 25	mp3anl3 909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((P↑2) ∈ ℝ ⋀ ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2) ∈ ℝ) ⋀ (P↑2) ≤ ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)) → (4 · (P↑2)) ≤ (4 · ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)))
27	19, 26	mpanl1 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2) ∈ ℝ ⋀ (P↑2) ≤ ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)) → (4 · (P↑2)) ≤ (4 · ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)))
28	7	phnvi 8406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ U ∈ NrmCVec
29	1, 2	nvgcl 8179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (aGb) ∈ X)
30	28, 29	mp3an1 900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (aGb) ∈ X)
31	30, 14, 15	syl2an 454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (aGb) ∈ X)
32		2cn 5927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
33		2ne0 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 0
34	32, 33	reccl 5682	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
35	1, 4	nvscl 8187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (1 / 2) ∈ ℂ ⋀ (aGb) ∈ X) → ((1 / 2)S(aGb)) ∈ X)
36	28, 34, 35	mp3an12 903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((aGb) ∈ X → ((1 / 2)S(aGb)) ∈ X)
37	31, 36	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → ((1 / 2)S(aGb)) ∈ X)
38	1, 3	nvmcl 8207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X ⋀ ((1 / 2)S(aGb)) ∈ X) → (AM((1 / 2)S(aGb))) ∈ X)
39	28, 8, 38	mp3an12 903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 2)S(aGb)) ∈ X → (AM((1 / 2)S(aGb))) ∈ X)
40	37, 39	syl 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (AM((1 / 2)S(aGb))) ∈ X)
41	1, 5	nvcl 8227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (AM((1 / 2)S(aGb))) ∈ X) → (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))) ∈ ℝ)
42	28, 41	mpan 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((AM((1 / 2)S(aGb))) ∈ X → (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))) ∈ ℝ)
43	40, 42	syl 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))) ∈ ℝ)
44		resqclt 6552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))) ∈ ℝ → ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2) ∈ ℝ)
45	43, 44	syl 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2) ∈ ℝ)
46	11, 7, 3, 5, 1, 9, 6, 8, 10	minveclem14 8489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ P
47		le2sqit 6563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((P ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ P) ⋀ ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))) ∈ ℝ ⋀ P ≤ (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))))) → (P↑2) ≤ ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2))
48	18, 46, 47	mpanl12 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))) ∈ ℝ ⋀ P ≤ (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))) → (P↑2) ≤ ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2))
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem37 8512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → P ≤ (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))))
50	48, 43, 49	sylanc 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (P↑2) ≤ ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2))
51	27, 45, 50	sylanc 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (4 · (P↑2)) ≤ (4 · ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)))
52	19	recn 5286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (P↑2) ∈ ℂ
53	32, 32, 52	mulass 5297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) · (P↑2)) = (2 · (2 · (P↑2)))
54		2t2e4 5969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
55	54	opreq1i 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) · (P↑2)) = (4 · (P↑2))
56	52	2times 5950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (P↑2)) = ((P↑2) + (P↑2))
57	56	opreq2i 3957	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · (2 · (P↑2))) = (2 · ((P↑2) + (P↑2)))
58	53, 55, 57	3eqtr3r 1496	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · ((P↑2) + (P↑2))) = (4 · (P↑2))
59	51, 58	syl5eqbr 2638	. . . . . . 7 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (2 · ((P↑2) + (P↑2))) ≤ (4 · ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)))
60	43	recnd 5287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))) ∈ ℂ)
61		sqmult 6543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ⋀ (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))) ∈ ℂ) → ((2 · (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))))↑2) = ((2↑2) · ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)))
62	32, 61	mpan 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))) ∈ ℂ → ((2 · (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))))↑2) = ((2↑2) · ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)))
63	60, 62	syl 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → ((2 · (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))))↑2) = ((2↑2) · ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)))
64		sq2 6569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
65	64	opreq1i 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) · ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)) = (4 · ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2))
66	63, 65	syl6req 1516	. . . . . . . 8 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (4 · ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)) = ((2 · (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))))↑2))
67	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	minveclem35 8510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (N ‘((AMa)G(AMb))) = (2 · (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))))
68	67, 14, 15	syl2an 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (N ‘((AMa)G(AMb))) = (2 · (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))))
69	68	opreq1d 3960	. . . . . . . 8 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2) = ((2 · (N ‘(AM((1 / 2)S(aGb)))))↑2))
70	66, 69	eqtr4d 1502	. . . . . . 7 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (4 · ((N ‘(AM((1 / 2)S(aGb))))↑2)) = ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2))
71	59, 70	breqtrd 2629	. . . . . 6 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (2 · ((P↑2) + (P↑2))) ≤ ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2))
72	1, 2	nvgcl 8179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (AMa) ∈ X ⋀ (AMb) ∈ X) → ((AMa)G(AMb)) ∈ X)
73	28, 72	mp3an1 900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((AMa) ∈ X ⋀ (AMb) ∈ X) → ((AMa)G(AMb)) ∈ X)
74	1, 3	nvmcl 8207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X ⋀ a ∈ X) → (AMa) ∈ X)
75	28, 8, 74	mp3an12 903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (a ∈ X → (AMa) ∈ X)
76	1, 3	nvmcl 8207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X ⋀ b ∈ X) → (AMb) ∈ X)
77	28, 8, 76	mp3an12 903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (b ∈ X → (AMb) ∈ X)
78	73, 75, 77	syl2an 454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → ((AMa)G(AMb)) ∈ X)
79	1, 5	nvcl 8227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ ((AMa)G(AMb)) ∈ X) → (N ‘((AMa)G(AMb))) ∈ ℝ)
80	28, 79	mpan 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((AMa)G(AMb)) ∈ X → (N ‘((AMa)G(AMb))) ∈ ℝ)
81	78, 80	syl 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (N ‘((AMa)G(AMb))) ∈ ℝ)
82		resqclt 6552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((N ‘((AMa)G(AMb))) ∈ ℝ → ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2) ∈ ℝ)
83	81, 82	syl 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2) ∈ ℝ)
84		2re 5926	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
85	19, 19	readdcl 5306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((P↑2) + (P↑2)) ∈ ℝ
86	84, 85	remulcl 5307	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ((P↑2) + (P↑2))) ∈ ℝ
87		suble0t 5648	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · ((P↑2) + (P↑2))) ∈ ℝ ⋀ ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2) ∈ ℝ) → (((2 · ((P↑2) + (P↑2))) − ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2)) ≤ 0 ↔ (2 · ((P↑2) + (P↑2))) ≤ ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2)))
88	86, 87	mpan 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2) ∈ ℝ → (((2 · ((P↑2) + (P↑2))) − ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2)) ≤ 0 ↔ (2 · ((P↑2) + (P↑2))) ≤ ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2)))
89	83, 88	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (((2 · ((P↑2) + (P↑2))) − ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2)) ≤ 0 ↔ (2 · ((P↑2) + (P↑2))) ≤ ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2)))
90	89, 14, 15	syl2an 454	. . . . . 6 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → (((2 · ((P↑2) + (P↑2))) − ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2)) ≤ 0 ↔ (2 · ((P↑2) + (P↑2))) ≤ ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2)))
91	71, 90	mpbird 196	. . . . 5 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → ((2 · ((P↑2) + (P↑2))) − ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2)) ≤ 0)
92	91	adantr 389	. . . 4 ⊢ (((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) ⋀ ((N ‘(AMa)) = P ⋀ (N ‘(AMb)) = P)) → ((2 · ((P↑2) + (P↑2))) − ((N ‘((AMa)G(AMb)))↑2)) ≤ 0)
93	17, 92	eqbrtrd 2625	. . 3 ⊢ (((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) ⋀ ((N ‘(AMa)) = P ⋀ (N ‘(AMb)) = P)) → ((N ‘(aMb))↑2) ≤ 0)
94		sq0 6566	. . 3 ⊢ (0↑2) = 0
95	93, 94	syl6breqr 2645	. 2 ⊢ (((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) ⋀ ((N ‘(AMa)) = P ⋀ (N ‘(AMb)) = P)) → ((N ‘(aMb))↑2) ≤ (0↑2))
96	1, 3	nvmcl 8207	. . . . . 6 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (aMb) ∈ X)
97	28, 96	mp3an1 900	. . . . 5 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → (aMb) ∈ X)
98	21	leid 5584	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
99	21, 98	pm3.2i 285	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ 0)
100		le2sqt 6562	. . . . . . 7 ⊢ ((((N ‘(aMb)) ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ (N ‘(aMb))) ⋀ (0 ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ 0)) → ((N ‘(aMb)) ≤ 0 ↔ ((N ‘(aMb))↑2) ≤ (0↑2)))
101	99, 100	mpan2 694	. . . . . 6 ⊢ (((N ‘(aMb)) ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ (N ‘(aMb))) → ((N ‘(aMb)) ≤ 0 ↔ ((N ‘(aMb))↑2) ≤ (0↑2)))
102	1, 5	nvcl 8227	. . . . . . 7 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (aMb) ∈ X) → (N ‘(aMb)) ∈ ℝ)
103	28, 102	mpan 693	. . . . . 6 ⊢ ((aMb) ∈ X → (N ‘(aMb)) ∈ ℝ)
104	1, 5	nvge0 8241	. . . . . . 7 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (aMb) ∈ X) → 0 ≤ (N ‘(aMb)))
105	28, 104	mpan 693	. . . . . 6 ⊢ ((aMb) ∈ X → 0 ≤ (N ‘(aMb)))
106	101, 103, 105	sylanc 471	. . . . 5 ⊢ ((aMb) ∈ X → ((N ‘(aMb)) ≤ 0 ↔ ((N ‘(aMb))↑2) ≤ (0↑2)))
107	97, 106	syl 10	. . . 4 ⊢ ((a ∈ X ⋀ b ∈ X) → ((N ‘(aMb)) ≤ 0 ↔ ((N ‘(aMb))↑2) ≤ (0↑2)))
108	107, 14, 15	syl2an 454	. . 3 ⊢ ((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) → ((N ‘(aMb)) ≤ 0 ↔ ((N ‘(aMb))↑2) ≤ (0↑2)))
109	108	adantr 389	. 2 ⊢ (((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) ⋀ ((N ‘(AMa)) = P ⋀ (N ‘(AMb)) = P)) → ((N ‘(aMb)) ≤ 0 ↔ ((N ‘(aMb))↑2) ≤ (0↑2)))
110	95, 109	mpbird 196	1 ⊢ (((a ∈ Y ⋀ b ∈ Y) ⋀ ((N ‘(AMa)) = P ⋀ (N ‘(AMb)) = P)) → (N ‘(aMb)) ≤ 0)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 953   ∈ wcel 955  {cab 1456  ∃wrex 1638   class class class wbr 2609   ‘cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  ℂcc 5204  ℝcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   · cmul 5211   − cmin 5264  -cneg 5265   / cdiv 5266   ≤ cle 5267   < clt 5458  2c2 5908  4c4 5910  ↑cexp 6500  NrmCVeccnv 8141   +_v cpv 8142  Basecba 8143   ·_s cns 8144   −_v cnsb 8146  normcnm 8147  SubSpcss 8314  CPreHilcphl 8402

This theorem is referenced by:  minveceu 8514

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ssp 8315  df-ph 8403

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