Theorem mul0or 5706

Description: If a product is zero, one of its factors must be zero. Theorem I.11 of [Apostol] p. 18.

Hypotheses

Ref	Expression
mul0or.1	⊢ A ∈ ℂ
mul0or.2	⊢ B ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul0or	⊢ ((A · B) = 0 ↔ (A = 0 ⋁ B = 0))

Proof of Theorem mul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 1590	. . . . 5 ⊢ (A ≠ 0 ↔ ¬ A = 0)
2		mul0or.1	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ ℂ
3		mul0or.2	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ ℂ
4		0cn 5340	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
5	2, 3, 4	3pm3.2i 820	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ 0 ∈ ℂ)
6		mulcantOLD 5703	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ 0 ∈ ℂ) ⋀ A ≠ 0) → ((A · B) = (A · 0) ↔ B = 0))
7	5, 6	mpan 697	. . . . . . 7 ⊢ (A ≠ 0 → ((A · B) = (A · 0) ↔ B = 0))
8	2	mul01 5443	. . . . . . . 8 ⊢ (A · 0) = 0
9	8	eqeq2i 1488	. . . . . . 7 ⊢ ((A · B) = (A · 0) ↔ (A · B) = 0)
10	7, 9	syl5bbr 536	. . . . . 6 ⊢ (A ≠ 0 → ((A · B) = 0 ↔ B = 0))
11	10	biimpd 153	. . . . 5 ⊢ (A ≠ 0 → ((A · B) = 0 → B = 0))
12	1, 11	sylbir 201	. . . 4 ⊢ (¬ A = 0 → ((A · B) = 0 → B = 0))
13	12	com12 11	. . 3 ⊢ ((A · B) = 0 → (¬ A = 0 → B = 0))
14	13	orrd 233	. 2 ⊢ ((A · B) = 0 → (A = 0 ⋁ B = 0))
15		opreq1 3974	. . . 4 ⊢ (A = 0 → (A · B) = (0 · B))
16	3	mul02 5444	. . . 4 ⊢ (0 · B) = 0
17	15, 16	syl6eq 1526	. . 3 ⊢ (A = 0 → (A · B) = 0)
18		opreq2 3975	. . . 4 ⊢ (B = 0 → (A · B) = (A · 0))
19	18, 8	syl6eq 1526	. . 3 ⊢ (B = 0 → (A · B) = 0)
20	17, 19	jaoi 341	. 2 ⊢ ((A = 0 ⋁ B = 0) → (A · B) = 0)
21	14, 20	impbi 157	1 ⊢ ((A · B) = 0 ↔ (A = 0 ⋁ B = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  0cc0 5246   · cmul 5251

This theorem is referenced by:  msq0 5707  mul0ort 5708  eqneg 5806  sqeqor 6648  sinhalfpilem 8674

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503

Copyright terms: Public domain