Theorem mulcant2 5700

Description: Cancellation law for multiplication. Theorem I.7 of [Apostol] p. 18. Illustrates use of keephyp 2400.

Hypothesis

Ref	Expression
mulcant2.1	⊢ C ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
mulcant2	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → ((C · A) = (C · B) ↔ A = B))

Proof of Theorem mulcant2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3975	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 1) → (C · A) = (C · if(A ∈ ℂ, A, 1)))
2	1	eqeq1d 1486	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 1) → ((C · A) = (C · B) ↔ (C · if(A ∈ ℂ, A, 1)) = (C · B)))
3		eqeq1 1484	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 1) → (A = B ↔ if(A ∈ ℂ, A, 1) = B))
4	2, 3	bibi12d 631	. 2 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 1) → (((C · A) = (C · B) ↔ A = B) ↔ ((C · if(A ∈ ℂ, A, 1)) = (C · B) ↔ if(A ∈ ℂ, A, 1) = B)))
5		opreq2 3975	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 1) → (C · B) = (C · if(B ∈ ℂ, B, 1)))
6	5	eqeq2d 1489	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 1) → ((C · if(A ∈ ℂ, A, 1)) = (C · B) ↔ (C · if(A ∈ ℂ, A, 1)) = (C · if(B ∈ ℂ, B, 1))))
7		eqeq2 1487	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 1) → ( if(A ∈ ℂ, A, 1) = B ↔ if(A ∈ ℂ, A, 1) = if(B ∈ ℂ, B, 1)))
8	6, 7	bibi12d 631	. 2 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 1) → (((C · if(A ∈ ℂ, A, 1)) = (C · B) ↔ if(A ∈ ℂ, A, 1) = B) ↔ ((C · if(A ∈ ℂ, A, 1)) = (C · if(B ∈ ℂ, B, 1)) ↔ if(A ∈ ℂ, A, 1) = if(B ∈ ℂ, B, 1))))
9		opreq1 3974	. . . 4 ⊢ (C = if(C ∈ ℂ, C, 1) → (C · if(A ∈ ℂ, A, 1)) = ( if(C ∈ ℂ, C, 1) · if(A ∈ ℂ, A, 1)))
10		opreq1 3974	. . . 4 ⊢ (C = if(C ∈ ℂ, C, 1) → (C · if(B ∈ ℂ, B, 1)) = ( if(C ∈ ℂ, C, 1) · if(B ∈ ℂ, B, 1)))
11	9, 10	eqeq12d 1492	. . 3 ⊢ (C = if(C ∈ ℂ, C, 1) → ((C · if(A ∈ ℂ, A, 1)) = (C · if(B ∈ ℂ, B, 1)) ↔ ( if(C ∈ ℂ, C, 1) · if(A ∈ ℂ, A, 1)) = ( if(C ∈ ℂ, C, 1) · if(B ∈ ℂ, B, 1))))
12	11	bibi1d 621	. 2 ⊢ (C = if(C ∈ ℂ, C, 1) → (((C · if(A ∈ ℂ, A, 1)) = (C · if(B ∈ ℂ, B, 1)) ↔ if(A ∈ ℂ, A, 1) = if(B ∈ ℂ, B, 1)) ↔ (( if(C ∈ ℂ, C, 1) · if(A ∈ ℂ, A, 1)) = ( if(C ∈ ℂ, C, 1) · if(B ∈ ℂ, B, 1)) ↔ if(A ∈ ℂ, A, 1) = if(B ∈ ℂ, B, 1))))
13		ax1cn 5281	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
14	13	elimel 2398	. . 3 ⊢ if(A ∈ ℂ, A, 1) ∈ ℂ
15	13	elimel 2398	. . 3 ⊢ if(B ∈ ℂ, B, 1) ∈ ℂ
16	13	elimel 2398	. . 3 ⊢ if(C ∈ ℂ, C, 1) ∈ ℂ
17		neeq1 1593	. . . 4 ⊢ (C = if(C ∈ ℂ, C, 1) → (C ≠ 0 ↔ if(C ∈ ℂ, C, 1) ≠ 0))
18		neeq1 1593	. . . 4 ⊢ (1 = if(C ∈ ℂ, C, 1) → (1 ≠ 0 ↔ if(C ∈ ℂ, C, 1) ≠ 0))
19		mulcant2.1	. . . 4 ⊢ C ≠ 0
20		ax1ne0 5292	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
21	17, 18, 19, 20	keephyp 2400	. . 3 ⊢ if(C ∈ ℂ, C, 1) ≠ 0
22	14, 15, 16, 21	mulcan 5698	. 2 ⊢ (( if(C ∈ ℂ, C, 1) · if(A ∈ ℂ, A, 1)) = ( if(C ∈ ℂ, C, 1) · if(B ∈ ℂ, B, 1)) ↔ if(A ∈ ℂ, A, 1) = if(B ∈ ℂ, B, 1))
23	4, 8, 12, 22	dedth3h 2392	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → ((C · A) = (C · B) ↔ A = B))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   ifcif 2365  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   · cmul 5251

This theorem is referenced by:  mulcant 5702  2wsms 10601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503

Copyright terms: Public domain