Theorem ndmoprrcl 4052

Description: Reverse closure law, when an operation's domain doesn't contain the empty set.

Hypotheses

Ref	Expression
ndmopr.1	⊢ B ∈ V
ndmopr.2	⊢ dom F = (S × S)
ndmoprrcl.3	⊢ ¬ ∅ ∈ S

Assertion

Ref	Expression
ndmoprrcl	⊢ ((AFB) ∈ S → (A ∈ S ⋀ B ∈ S))

Proof of Theorem ndmoprrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmoprrcl.3	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ S
2		ndmopr.1	. . . . 5 ⊢ B ∈ V
3		ndmopr.2	. . . . 5 ⊢ dom F = (S × S)
4	2, 3	ndmopr 4051	. . . 4 ⊢ (¬ (A ∈ S ⋀ B ∈ S) → (AFB) = ∅)
5	4	eleq1d 1543	. . 3 ⊢ (¬ (A ∈ S ⋀ B ∈ S) → ((AFB) ∈ S ↔ ∅ ∈ S))
6	1, 5	mtbiri 719	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ S ⋀ B ∈ S) → ¬ (AFB) ∈ S)
7	6	a3i 74	1 ⊢ ((AFB) ∈ S → (A ∈ S ⋀ B ∈ S))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  Vcvv 1814  ∅c0 2283   × cxp 3174  dom cdm 3176  (class class class)co 3969

This theorem is referenced by:  ndmoprass 4054  ndmoprdistr 4055  ndmord 4056  ndmordi 4057  caoprmo 4076  brecop2 4313  eceqopreq 4319  mulcanpi 5039  recclpq 5084  ltexpq 5092  ltexpq2 5093  nsmallpq 5095  ltbtwnpq 5096  ltaddpr 5152  ltaddpr2 5153  ltexprlem2 5155  ltexprlem3 5156  ltexprlem4 5157  ltexprlem6 5159  ltexprlem7 5160  ltexpri 5161  addcanpr 5164  recexpr 5172  recexsrlem 5224  mappsrpr 5230  supsrlem1 5237

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fv 3204  df-opr 3971

Copyright terms: Public domain