Theorem neifval 7711

Description: The neighborhood function on the subsets of a topology's base set.

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	⊢ X = ∪J

Assertion

Ref	Expression
neifval	⊢ (J ∈ Top → (nei ‘J) = {⟨z, w⟩∣(z ⊆ X ⋀ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})})

Distinct variable groups:   v,g,w,z,J   g,X,v,w,z

Proof of Theorem neifval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 2877	. . . . 5 ⊢ (J ∈ Top → ∪J ∈ V)
2		neifval.1	. . . . 5 ⊢ X = ∪J
3	1, 2	syl5eqel 1555	. . . 4 ⊢ (J ∈ Top → X ∈ V)
4		pwexg 2752	. . . 4 ⊢ (X ∈ V → ℘X ∈ V)
5		opabex2g 3617	. . . 4 ⊢ (℘X ∈ V → {⟨z, w⟩∣(z ∈ ℘X ⋀ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})} ∈ V)
6	3, 4, 5	3syl 20	. . 3 ⊢ (J ∈ Top → {⟨z, w⟩∣(z ∈ ℘X ⋀ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})} ∈ V)
7		visset 1816	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
8	7	elpw 2408	. . . . 5 ⊢ (z ∈ ℘X ↔ z ⊆ X)
9	8	anbi1i 483	. . . 4 ⊢ ((z ∈ ℘X ⋀ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))}) ↔ (z ⊆ X ⋀ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))}))
10	9	opabbii 2676	. . 3 ⊢ {⟨z, w⟩∣(z ∈ ℘X ⋀ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})} = {⟨z, w⟩∣(z ⊆ X ⋀ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})}
11	6, 10	syl5eqelr 1556	. 2 ⊢ (J ∈ Top → {⟨z, w⟩∣(z ⊆ X ⋀ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})} ∈ V)
12		unieq 2514	. . . . . . 7 ⊢ (j = J → ∪j = ∪J)
13	12, 2	syl6eqr 1528	. . . . . 6 ⊢ (j = J → ∪j = X)
14	13	sseq2d 2092	. . . . 5 ⊢ (j = J → (z ⊆ ∪j ↔ z ⊆ X))
15	13	sseq2d 2092	. . . . . . . 8 ⊢ (j = J → (v ⊆ ∪j ↔ v ⊆ X))
16		rexeq1 1790	. . . . . . . 8 ⊢ (j = J → (∃g ∈ j (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v) ↔ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v)))
17	15, 16	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (j = J → ((v ⊆ ∪j ⋀ ∃g ∈ j (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v)) ↔ (v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))))
18	17	abbidv 1580	. . . . . 6 ⊢ (j = J → {v∣(v ⊆ ∪j ⋀ ∃g ∈ j (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))} = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})
19	18	eqeq2d 1489	. . . . 5 ⊢ (j = J → (w = {v∣(v ⊆ ∪j ⋀ ∃g ∈ j (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))} ↔ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))}))
20	14, 19	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (j = J → ((z ⊆ ∪j ⋀ w = {v∣(v ⊆ ∪j ⋀ ∃g ∈ j (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))}) ↔ (z ⊆ X ⋀ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})))
21	20	opabbidv 2675	. . 3 ⊢ (j = J → {⟨z, w⟩∣(z ⊆ ∪j ⋀ w = {v∣(v ⊆ ∪j ⋀ ∃g ∈ j (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})} = {⟨z, w⟩∣(z ⊆ X ⋀ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})})
22		df-nei 7710	. . 3 ⊢ nei = {⟨j, y⟩∣(j ∈ Top ⋀ y = {⟨z, w⟩∣(z ⊆ ∪j ⋀ w = {v∣(v ⊆ ∪j ⋀ ∃g ∈ j (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})})}
23	21, 22	fvopab4g 3785	. 2 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ {⟨z, w⟩∣(z ⊆ X ⋀ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})} ∈ V) → (nei ‘J) = {⟨z, w⟩∣(z ⊆ X ⋀ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})})
24	11, 23	mpdan 706	1 ⊢ (J ∈ Top → (nei ‘J) = {⟨z, w⟩∣(z ⊆ X ⋀ w = {v∣(v ⊆ X ⋀ ∃g ∈ J (z ⊆ g ⋀ g ⊆ v))})})

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  {cab 1466  ∃wrex 1649  Vcvv 1814   ⊆ wss 2050  ℘cpw 2405  ∪cuni 2507  {copab 2671   ‘cfv 3188  Topctop 7590  neicnei 7709

This theorem is referenced by:  neif 7712  neival 7714

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-nei 7710

Copyright terms: Public domain