Theorem neissex 7735

Description: For any neighborhood N of S, there is a neighborhood x of S such that N is a neighborhood of all subsets of x. Based on Bourbaki TG I.3 Viv. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
neissex	⊢ ((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) → ∃x ∈ ((nei ‘J) ‘S)∀y(y ⊆ x → N ∈ ((nei ‘J) ‘y)))

Distinct variable groups:   x,y,J   x,N,y   x,S,y

Proof of Theorem neissex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 7719	. 2 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) → ∃x ∈ J (S ⊆ x ⋀ x ⊆ N))
2		opnneiss 7729	. . . . . . . 8 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ x ∈ J ⋀ S ⊆ x) → x ∈ ((nei ‘J) ‘S))
3	2	3expb 836	. . . . . . 7 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ (x ∈ J ⋀ S ⊆ x)) → x ∈ ((nei ‘J) ‘S))
4	3	adantrrr 405	. . . . . 6 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ (x ∈ J ⋀ (S ⊆ x ⋀ x ⊆ N))) → x ∈ ((nei ‘J) ‘S))
5	4	adantlr 395	. . . . 5 ⊢ (((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ (x ∈ J ⋀ (S ⊆ x ⋀ x ⊆ N))) → x ∈ ((nei ‘J) ‘S))
6		neiss 7720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘x) ⋀ y ⊆ x) → N ∈ ((nei ‘J) ‘y))
7		pm3.26 319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) → J ∈ Top)
8	7	ad2antrr 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ (x ∈ J ⋀ x ⊆ N)) ⋀ y ⊆ x) → J ∈ Top)
9		eqid 1478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪J = ∪J
10	9	opnssneib 7726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ x ∈ J ⋀ N ⊆ ∪J) → (x ⊆ N ↔ N ∈ ((nei ‘J) ‘x)))
11		simpll 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ x ∈ J) → J ∈ Top)
12		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ x ∈ J) → x ∈ J)
13	9	neii1 7718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) → N ⊆ ∪J)
14	13	adantr 391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ x ∈ J) → N ⊆ ∪J)
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ x ∈ J) → (x ⊆ N ↔ N ∈ ((nei ‘J) ‘x)))
16	15	biimpa 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ x ∈ J) ⋀ x ⊆ N) → N ∈ ((nei ‘J) ‘x))
17	16	anasss 442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ (x ∈ J ⋀ x ⊆ N)) → N ∈ ((nei ‘J) ‘x))
18	17	adantr 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ (x ∈ J ⋀ x ⊆ N)) ⋀ y ⊆ x) → N ∈ ((nei ‘J) ‘x))
19		pm3.27 323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ (x ∈ J ⋀ x ⊆ N)) ⋀ y ⊆ x) → y ⊆ x)
20	6, 8, 18, 19	syl3anc 860	. . . . . . . 8 ⊢ ((((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ (x ∈ J ⋀ x ⊆ N)) ⋀ y ⊆ x) → N ∈ ((nei ‘J) ‘y))
21	20	ex 373	. . . . . . 7 ⊢ (((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ (x ∈ J ⋀ x ⊆ N)) → (y ⊆ x → N ∈ ((nei ‘J) ‘y)))
22	21	adantrrl 404	. . . . . 6 ⊢ (((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ (x ∈ J ⋀ (S ⊆ x ⋀ x ⊆ N))) → (y ⊆ x → N ∈ ((nei ‘J) ‘y)))
23	22	19.21aiv 1288	. . . . 5 ⊢ (((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ (x ∈ J ⋀ (S ⊆ x ⋀ x ⊆ N))) → ∀y(y ⊆ x → N ∈ ((nei ‘J) ‘y)))
24	5, 23	jca 288	. . . 4 ⊢ (((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) ⋀ (x ∈ J ⋀ (S ⊆ x ⋀ x ⊆ N))) → (x ∈ ((nei ‘J) ‘S) ⋀ ∀y(y ⊆ x → N ∈ ((nei ‘J) ‘y))))
25	24	ex 373	. . 3 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) → ((x ∈ J ⋀ (S ⊆ x ⋀ x ⊆ N)) → (x ∈ ((nei ‘J) ‘S) ⋀ ∀y(y ⊆ x → N ∈ ((nei ‘J) ‘y)))))
26	25	r19.22dv2 1739	. 2 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) → (∃x ∈ J (S ⊆ x ⋀ x ⊆ N) → ∃x ∈ ((nei ‘J) ‘S)∀y(y ⊆ x → N ∈ ((nei ‘J) ‘y))))
27	1, 26	mpd 26	1 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ N ∈ ((nei ‘J) ‘S)) → ∃x ∈ ((nei ‘J) ‘S)∀y(y ⊆ x → N ∈ ((nei ‘J) ‘y)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 956   ∈ wcel 960  ∃wrex 1649   ⊆ wss 2050  ∪cuni 2507   ‘cfv 3188  Topctop 7590  neicnei 7709

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-nei 7710

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