Theorem nmfnrepnf 9802

Description: The norm of a Hilbert space functional is either real or plus infinity.

Assertion

Ref	Expression
nmfnrepnf	⊢ (T: ℋ –→ℂ → ((normfn ‘T) ∈ ℝ ↔ (normfn ‘T) ≠ +∞))

Proof of Theorem nmfnrepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmfnsetret 9799	. . 3 ⊢ (T: ℋ –→ℂ → {x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))} ⊆ ℝ)
2		nmfnsetn0 9800	. . . . 5 ⊢ (abs ‘(T ‘0h)) ∈ {x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))}
3		ne0i 2289	. . . . 5 ⊢ ((abs ‘(T ‘0h)) ∈ {x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))} → {x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))} ≠ ∅)
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ {x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))} ≠ ∅
5		supxrre2 6096	. . . 4 ⊢ (({x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))} ⊆ ℝ ⋀ {x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))} ≠ ∅) → (sup({x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
6	4, 5	mpan2 698	. . 3 ⊢ ({x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))} ⊆ ℝ → (sup({x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
7	1, 6	syl 10	. 2 ⊢ (T: ℋ –→ℂ → (sup({x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
8		nmfnvalt 9798	. . 3 ⊢ (T: ℋ –→ℂ → (normfn ‘T) = sup({x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))}, ℝ*, < ))
9	8	eleq1d 1543	. 2 ⊢ (T: ℋ –→ℂ → ((normfn ‘T) ∈ ℝ ↔ sup({x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
10	8	eqeq1d 1486	. . 3 ⊢ (T: ℋ –→ℂ → ((normfn ‘T) = +∞ ↔ sup({x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))}, ℝ*, < ) = +∞))
11	10	necon3bid 1604	. 2 ⊢ (T: ℋ –→ℂ → ((normfn ‘T) ≠ +∞ ↔ sup({x∣∃y ∈ ℋ ((normh ‘y) ≤ 1 ⋀ x = (abs ‘(T ‘y)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
12	7, 9, 11	3bitr4d 552	1 ⊢ (T: ℋ –→ℂ → ((normfn ‘T) ∈ ℝ ↔ (normfn ‘T) ≠ +∞))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  {cab 1466   ≠ wne 1588  ∃wrex 1649   ⊆ wss 2050  ∅c0 2283   class class class wbr 2624  –→wf 3184   ‘cfv 3188  supcsup 4582  ℂcc 5244  ℝcr 5245  1c1 5247   ≤ cle 5307   +∞cpnf 5495  ℝ^*cxr 5497   < clt 5498  abscabs 6751   ℋ chil 8783  0_hc0v 8786  norm_hcno 8789  norm_fncnmf 8815

This theorem is referenced by:  nmcfnexlem1 9975

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hv0cl 8868  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his3 8946

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-hnorm 8832  df-nmfn 9766

Copyright terms: Public domain