Theorem nnacom 4239

Description: Addition of natural numbers is commutative. Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81.

Assertion

Ref	Expression
nnacom	⊢ ((A ∈ ω ⋀ B ∈ ω) → (A +o B) = (B +o A))

Proof of Theorem nnacom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3974	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (x +o B) = (∅ +o B))
2		opreq2 3975	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (B +o x) = (B +o ∅))
3	1, 2	eqeq12d 1492	. . . 4 ⊢ (x = ∅ → ((x +o B) = (B +o x) ↔ (∅ +o B) = (B +o ∅)))
4	3	imbi2d 614	. . 3 ⊢ (x = ∅ → ((B ∈ ω → (x +o B) = (B +o x)) ↔ (B ∈ ω → (∅ +o B) = (B +o ∅))))
5		opreq1 3974	. . . . 5 ⊢ (x = y → (x +o B) = (y +o B))
6		opreq2 3975	. . . . 5 ⊢ (x = y → (B +o x) = (B +o y))
7	5, 6	eqeq12d 1492	. . . 4 ⊢ (x = y → ((x +o B) = (B +o x) ↔ (y +o B) = (B +o y)))
8	7	imbi2d 614	. . 3 ⊢ (x = y → ((B ∈ ω → (x +o B) = (B +o x)) ↔ (B ∈ ω → (y +o B) = (B +o y))))
9		opreq1 3974	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (x +o B) = (suc y +o B))
10		opreq2 3975	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (B +o x) = (B +o suc y))
11	9, 10	eqeq12d 1492	. . . 4 ⊢ (x = suc y → ((x +o B) = (B +o x) ↔ (suc y +o B) = (B +o suc y)))
12	11	imbi2d 614	. . 3 ⊢ (x = suc y → ((B ∈ ω → (x +o B) = (B +o x)) ↔ (B ∈ ω → (suc y +o B) = (B +o suc y))))
13		opreq1 3974	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x +o B) = (A +o B))
14		opreq2 3975	. . . . 5 ⊢ (x = A → (B +o x) = (B +o A))
15	13, 14	eqeq12d 1492	. . . 4 ⊢ (x = A → ((x +o B) = (B +o x) ↔ (A +o B) = (B +o A)))
16	15	imbi2d 614	. . 3 ⊢ (x = A → ((B ∈ ω → (x +o B) = (B +o x)) ↔ (B ∈ ω → (A +o B) = (B +o A))))
17		nna0r 4233	. . . 4 ⊢ (B ∈ ω → (∅ +o B) = B)
18		nna0 4229	. . . 4 ⊢ (B ∈ ω → (B +o ∅) = B)
19	17, 18	eqtr4d 1513	. . 3 ⊢ (B ∈ ω → (∅ +o B) = (B +o ∅))
20		opreq2 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = ∅ → (suc y +o x) = (suc y +o ∅))
21		opreq2 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = ∅ → (y +o x) = (y +o ∅))
22		suceq 3040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y +o x) = (y +o ∅) → suc (y +o x) = suc (y +o ∅))
23	21, 22	syl 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = ∅ → suc (y +o x) = suc (y +o ∅))
24	20, 23	eqeq12d 1492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = ∅ → ((suc y +o x) = suc (y +o x) ↔ (suc y +o ∅) = suc (y +o ∅)))
25	24	imbi2d 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ∅ → ((y ∈ ω → (suc y +o x) = suc (y +o x)) ↔ (y ∈ ω → (suc y +o ∅) = suc (y +o ∅))))
26		opreq2 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = z → (suc y +o x) = (suc y +o z))
27		opreq2 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = z → (y +o x) = (y +o z))
28		suceq 3040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y +o x) = (y +o z) → suc (y +o x) = suc (y +o z))
29	27, 28	syl 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = z → suc (y +o x) = suc (y +o z))
30	26, 29	eqeq12d 1492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = z → ((suc y +o x) = suc (y +o x) ↔ (suc y +o z) = suc (y +o z)))
31	30	imbi2d 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = z → ((y ∈ ω → (suc y +o x) = suc (y +o x)) ↔ (y ∈ ω → (suc y +o z) = suc (y +o z))))
32		opreq2 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = suc z → (suc y +o x) = (suc y +o suc z))
33		opreq2 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = suc z → (y +o x) = (y +o suc z))
34		suceq 3040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y +o x) = (y +o suc z) → suc (y +o x) = suc (y +o suc z))
35	33, 34	syl 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = suc z → suc (y +o x) = suc (y +o suc z))
36	32, 35	eqeq12d 1492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = suc z → ((suc y +o x) = suc (y +o x) ↔ (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z)))
37	36	imbi2d 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = suc z → ((y ∈ ω → (suc y +o x) = suc (y +o x)) ↔ (y ∈ ω → (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z))))
38		opreq2 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = B → (suc y +o x) = (suc y +o B))
39		opreq2 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = B → (y +o x) = (y +o B))
40		suceq 3040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y +o x) = (y +o B) → suc (y +o x) = suc (y +o B))
41	39, 40	syl 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = B → suc (y +o x) = suc (y +o B))
42	38, 41	eqeq12d 1492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = B → ((suc y +o x) = suc (y +o x) ↔ (suc y +o B) = suc (y +o B)))
43	42	imbi2d 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = B → ((y ∈ ω → (suc y +o x) = suc (y +o x)) ↔ (y ∈ ω → (suc y +o B) = suc (y +o B))))
44		peano2b 3153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ω ↔ suc y ∈ ω)
45		nna0 4229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc y ∈ ω → (suc y +o ∅) = suc y)
46	44, 45	sylbi 199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ω → (suc y +o ∅) = suc y)
47		nna0 4229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ω → (y +o ∅) = y)
48		suceq 3040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y +o ∅) = y → suc (y +o ∅) = suc y)
49	47, 48	syl 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ω → suc (y +o ∅) = suc y)
50	46, 49	eqtr4d 1513	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ ω → (suc y +o ∅) = suc (y +o ∅))
51		oasuc 4169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((suc y ∈ On ⋀ z ∈ On) → (suc y +o suc z) = suc (suc y +o z))
52		nnont 3144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ ω → y ∈ On)
53		suceloni 3068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ On → suc y ∈ On)
54	52, 53	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ω → suc y ∈ On)
55		nnont 3144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ ω → z ∈ On)
56	51, 54, 55	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ω ⋀ z ∈ ω) → (suc y +o suc z) = suc (suc y +o z))
57	52, 55	anim12i 333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ ω ⋀ z ∈ ω) → (y ∈ On ⋀ z ∈ On))
58		oasuc 4169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ On ⋀ z ∈ On) → (y +o suc z) = suc (y +o z))
59		suceq 3040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y +o suc z) = suc (y +o z) → suc (y +o suc z) = suc suc (y +o z))
60	57, 58, 59	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ω ⋀ z ∈ ω) → suc (y +o suc z) = suc suc (y +o z))
61	56, 60	eqeq12d 1492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ω ⋀ z ∈ ω) → ((suc y +o suc z) = suc (y +o suc z) ↔ suc (suc y +o z) = suc suc (y +o z)))
62		suceq 3040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((suc y +o z) = suc (y +o z) → suc (suc y +o z) = suc suc (y +o z))
63	61, 62	syl5bir 210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ω ⋀ z ∈ ω) → ((suc y +o z) = suc (y +o z) → (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z)))
64	63	expcom 374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ ω → (y ∈ ω → ((suc y +o z) = suc (y +o z) → (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z))))
65	64	a2d 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ ω → ((y ∈ ω → (suc y +o z) = suc (y +o z)) → (y ∈ ω → (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z))))
66	25, 31, 37, 43, 50, 65	finds 3162	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ω → (y ∈ ω → (suc y +o B) = suc (y +o B)))
67	66	imp 350	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ω ⋀ y ∈ ω) → (suc y +o B) = suc (y +o B))
68		nnasuc 4231	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ω ⋀ y ∈ ω) → (B +o suc y) = suc (B +o y))
69	67, 68	eqeq12d 1492	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ω ⋀ y ∈ ω) → ((suc y +o B) = (B +o suc y) ↔ suc (y +o B) = suc (B +o y)))
70		suceq 3040	. . . . . 6 ⊢ ((y +o B) = (B +o y) → suc (y +o B) = suc (B +o y))
71	69, 70	syl5bir 210	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ω ⋀ y ∈ ω) → ((y +o B) = (B +o y) → (suc y +o B) = (B +o suc y)))
72	71	expcom 374	. . . 4 ⊢ (y ∈ ω → (B ∈ ω → ((y +o B) = (B +o y) → (suc y +o B) = (B +o suc y))))
73	72	a2d 13	. . 3 ⊢ (y ∈ ω → ((B ∈ ω → (y +o B) = (B +o y)) → (B ∈ ω → (suc y +o B) = (B +o suc y))))
74	4, 8, 12, 16, 19, 73	finds 3162	. 2 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (A +o B) = (B +o A)))
75	74	imp 350	1 ⊢ ((A ∈ ω ⋀ B ∈ ω) → (A +o B) = (B +o A))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∅c0 2283  Oncon0 2954  suc csuc 2956  ωcom 3137  (class class class)co 3969   +_o coa 4136

This theorem is referenced by:  nnaordr 4242  nnmsucr 4246  nnaword2 4251  addcompi 5034

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-oadd 4141

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