Theorem nnaordr 4242

Description: Ordering property of addition of natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
nnaordr	⊢ ((A ∈ ω ⋀ B ∈ ω ⋀ C ∈ ω) → (A ∈ B ↔ (A +o C) ∈ (B +o C)))

Proof of Theorem nnaordr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaord 4241	. 2 ⊢ ((A ∈ ω ⋀ B ∈ ω ⋀ C ∈ ω) → (A ∈ B ↔ (C +o A) ∈ (C +o B)))
2		nnacom 4239	. . . . 5 ⊢ ((C ∈ ω ⋀ A ∈ ω) → (C +o A) = (A +o C))
3	2	ancoms 438	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ω ⋀ C ∈ ω) → (C +o A) = (A +o C))
4	3	3adant2 800	. . 3 ⊢ ((A ∈ ω ⋀ B ∈ ω ⋀ C ∈ ω) → (C +o A) = (A +o C))
5		nnacom 4239	. . . . 5 ⊢ ((C ∈ ω ⋀ B ∈ ω) → (C +o B) = (B +o C))
6	5	ancoms 438	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ω ⋀ C ∈ ω) → (C +o B) = (B +o C))
7	6	3adant1 799	. . 3 ⊢ ((A ∈ ω ⋀ B ∈ ω ⋀ C ∈ ω) → (C +o B) = (B +o C))
8	4, 7	eleq12d 1545	. 2 ⊢ ((A ∈ ω ⋀ B ∈ ω ⋀ C ∈ ω) → ((C +o A) ∈ (C +o B) ↔ (A +o C) ∈ (B +o C)))
9	1, 8	bitrd 530	1 ⊢ ((A ∈ ω ⋀ B ∈ ω ⋀ C ∈ ω) → (A ∈ B ↔ (A +o C) ∈ (B +o C)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960  ωcom 3137  (class class class)co 3969   +_o coa 4136

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-oadd 4141

Copyright terms: Public domain