Theorem nnwos 6461

Description: Well-ordering principle: any non-empty set of natural numbers has a least element (schema form).

Hypothesis

Ref	Expression
nnwos.1	⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))

Assertion

Ref	Expression
nnwos	⊢ (∃x ∈ ℕ φ → ∃x ∈ ℕ (φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (ψ → x ≤ y)))

Distinct variable groups:   x,y   φ,y   ψ,x

Proof of Theorem nnwos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbrab1 1775	. . 3 ⊢ (z ∈ {x ∈ ℕ∣φ} → ∀x z ∈ {x ∈ ℕ∣φ})
2		ax-17 973	. . 3 ⊢ (z ∈ {x ∈ ℕ∣φ} → ∀y z ∈ {x ∈ ℕ∣φ})
3	1, 2	nnwof 6460	. 2 ⊢ (({x ∈ ℕ∣φ} ⊆ ℕ ⋀ {x ∈ ℕ∣φ} ≠ ∅) → ∃x ∈ {x ∈ ℕ∣φ}∀y ∈ {x ∈ ℕ∣φ}x ≤ y)
4		ssrab2 2134	. . . 4 ⊢ {x ∈ ℕ∣φ} ⊆ ℕ
5	4	biantrur 727	. . 3 ⊢ ({x ∈ ℕ∣φ} ≠ ∅ ↔ ({x ∈ ℕ∣φ} ⊆ ℕ ⋀ {x ∈ ℕ∣φ} ≠ ∅))
6		rabn0 2296	. . 3 ⊢ ({x ∈ ℕ∣φ} ≠ ∅ ↔ ∃x ∈ ℕ φ)
7	5, 6	bitr3 175	. 2 ⊢ (({x ∈ ℕ∣φ} ⊆ ℕ ⋀ {x ∈ ℕ∣φ} ≠ ∅) ↔ ∃x ∈ ℕ φ)
8		df-rex 1653	. . 3 ⊢ (∃x ∈ {x ∈ ℕ∣φ}∀y ∈ {x ∈ ℕ∣φ}x ≤ y ↔ ∃x(x ∈ {x ∈ ℕ∣φ} ⋀ ∀y ∈ {x ∈ ℕ∣φ}x ≤ y))
9		rabid 1772	. . . . 5 ⊢ (x ∈ {x ∈ ℕ∣φ} ↔ (x ∈ ℕ ⋀ φ))
10		df-ral 1652	. . . . . 6 ⊢ (∀y ∈ {x ∈ ℕ∣φ}x ≤ y ↔ ∀y(y ∈ {x ∈ ℕ∣φ} → x ≤ y))
11		nnwos.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
12	11	elrab 1908	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ {x ∈ ℕ∣φ} ↔ (y ∈ ℕ ⋀ ψ))
13	12	imbi1i 186	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ {x ∈ ℕ∣φ} → x ≤ y) ↔ ((y ∈ ℕ ⋀ ψ) → x ≤ y))
14		impexp 347	. . . . . . . 8 ⊢ (((y ∈ ℕ ⋀ ψ) → x ≤ y) ↔ (y ∈ ℕ → (ψ → x ≤ y)))
15	13, 14	bitr 173	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ {x ∈ ℕ∣φ} → x ≤ y) ↔ (y ∈ ℕ → (ψ → x ≤ y)))
16	15	albii 1001	. . . . . 6 ⊢ (∀y(y ∈ {x ∈ ℕ∣φ} → x ≤ y) ↔ ∀y(y ∈ ℕ → (ψ → x ≤ y)))
17	10, 16	bitr 173	. . . . 5 ⊢ (∀y ∈ {x ∈ ℕ∣φ}x ≤ y ↔ ∀y(y ∈ ℕ → (ψ → x ≤ y)))
18	9, 17	anbi12i 484	. . . 4 ⊢ ((x ∈ {x ∈ ℕ∣φ} ⋀ ∀y ∈ {x ∈ ℕ∣φ}x ≤ y) ↔ ((x ∈ ℕ ⋀ φ) ⋀ ∀y(y ∈ ℕ → (ψ → x ≤ y))))
19	18	exbii 1053	. . 3 ⊢ (∃x(x ∈ {x ∈ ℕ∣φ} ⋀ ∀y ∈ {x ∈ ℕ∣φ}x ≤ y) ↔ ∃x((x ∈ ℕ ⋀ φ) ⋀ ∀y(y ∈ ℕ → (ψ → x ≤ y))))
20		df-ral 1652	. . . . . . 7 ⊢ (∀y ∈ ℕ (ψ → x ≤ y) ↔ ∀y(y ∈ ℕ → (ψ → x ≤ y)))
21	20	anbi2i 482	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ ℕ ⋀ φ) ⋀ ∀y ∈ ℕ (ψ → x ≤ y)) ↔ ((x ∈ ℕ ⋀ φ) ⋀ ∀y(y ∈ ℕ → (ψ → x ≤ y))))
22		anass 441	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ ℕ ⋀ φ) ⋀ ∀y ∈ ℕ (ψ → x ≤ y)) ↔ (x ∈ ℕ ⋀ (φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (ψ → x ≤ y))))
23	21, 22	bitr3 175	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ ℕ ⋀ φ) ⋀ ∀y(y ∈ ℕ → (ψ → x ≤ y))) ↔ (x ∈ ℕ ⋀ (φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (ψ → x ≤ y))))
24	23	exbii 1053	. . . 4 ⊢ (∃x((x ∈ ℕ ⋀ φ) ⋀ ∀y(y ∈ ℕ → (ψ → x ≤ y))) ↔ ∃x(x ∈ ℕ ⋀ (φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (ψ → x ≤ y))))
25		df-rex 1653	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℕ (φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (ψ → x ≤ y)) ↔ ∃x(x ∈ ℕ ⋀ (φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (ψ → x ≤ y))))
26	24, 25	bitr4 176	. . 3 ⊢ (∃x((x ∈ ℕ ⋀ φ) ⋀ ∀y(y ∈ ℕ → (ψ → x ≤ y))) ↔ ∃x ∈ ℕ (φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (ψ → x ≤ y)))
27	8, 19, 26	3bitr 177	. 2 ⊢ (∃x ∈ {x ∈ ℕ∣φ}∀y ∈ {x ∈ ℕ∣φ}x ≤ y ↔ ∃x ∈ ℕ (φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (ψ → x ≤ y)))
28	3, 7, 27	3imtr3 218	1 ⊢ (∃x ∈ ℕ φ → ∃x ∈ ℕ (φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (ψ → x ≤ y)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 956   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982   ≠ wne 1588  ∀wral 1648  ∃wrex 1649  {crab 1651   ⊆ wss 2050  ∅c0 2283   class class class wbr 2624   ≤ cle 5307  ℕcn 5308

This theorem is referenced by:  indstr 6462  infpnlem2 7508

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-uz 6419

Copyright terms: Public domain