Theorem opelcnvg 3302

Description: Ordered-pair membership in converse.

Assertion

Ref	Expression
opelcnvg	⊢ ((A ∈ C ⋀ B ∈ D) → (⟨A, B⟩ ∈ ◡R ↔ ⟨B, A⟩ ∈ R))

Proof of Theorem opelcnvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2628	. . . 4 ⊢ (x = A → (yRx ↔ yRA))
2		breq1 2627	. . . 4 ⊢ (y = B → (yRA ↔ BRA))
3	1, 2	opelopabg 2823	. . 3 ⊢ ((A ∈ C ⋀ B ∈ D) → (⟨A, B⟩ ∈ {⟨x, y⟩∣yRx} ↔ BRA))
4		df-cnv 3192	. . . 4 ⊢ ◡R = {⟨x, y⟩∣yRx}
5	4	eleq2i 1541	. . 3 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ ◡R ↔ ⟨A, B⟩ ∈ {⟨x, y⟩∣yRx})
6	3, 5	syl5bb 534	. 2 ⊢ ((A ∈ C ⋀ B ∈ D) → (⟨A, B⟩ ∈ ◡R ↔ BRA))
7		df-br 2625	. 2 ⊢ (BRA ↔ ⟨B, A⟩ ∈ R)
8	6, 7	syl6bb 538	1 ⊢ ((A ∈ C ⋀ B ∈ D) → (⟨A, B⟩ ∈ ◡R ↔ ⟨B, A⟩ ∈ R))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ∈ wcel 960  ⟨cop 2415   class class class wbr 2624  {copab 2671  ^◡ccnv 3175

This theorem is referenced by:  brcnvg 3303  opelcnv 3304  fvimacnv 3811  xrlenltt 5513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-cnv 3192

Copyright terms: Public domain