Theorem pnfnemnf 5509

Description: Plus and minus infinity are distinguished elements of ℝ^*.

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 4452	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ≺ +∞
2		df-mnf 5460	. . . . 5 ⊢ -∞ = ℘ +∞
3	2	eqeq2i 1477	. . . 4 ⊢ ( +∞ = -∞ ↔ +∞ = ℘ +∞)
4		df-pnf 5459	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = ℘∪ℂ
5		axcnex 5239	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
6	5	uniex 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ℂ ∈ V
7	6	pwex 2735	. . . . . . 7 ⊢ ℘∪ℂ ∈ V
8	4, 7	eqeltr 1536	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ V
9	8	canth2 4464	. . . . 5 ⊢ +∞ ≺ ℘ +∞
10		breq2 2613	. . . . 5 ⊢ ( +∞ = ℘ +∞ → ( +∞ ≺ +∞ ↔ +∞ ≺ ℘ +∞))
11	9, 10	mpbiri 194	. . . 4 ⊢ ( +∞ = ℘ +∞ → +∞ ≺ +∞)
12	3, 11	sylbi 199	. . 3 ⊢ ( +∞ = -∞ → +∞ ≺ +∞)
13	1, 12	mto 106	. 2 ⊢ ¬ +∞ = -∞
14		df-ne 1579	. 2 ⊢ ( +∞ ≠ -∞ ↔ ¬ +∞ = -∞)
15	13, 14	mpbir 190	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:  ¬ wn 2   = wceq 953   ≠ wne 1577  Vcvv 1802  ℘cpw 2391  ∪cuni 2493   class class class wbr 2609   ≺ csdm 4350  ℂcc 5204   +∞cpnf 5455   -∞cmnf 5456

This theorem is referenced by:  xrltnrt 5514  pnfnltt 5519  nltmnft 5520

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-nq 5010  df-np 5058  df-nr 5139  df-c 5212  df-pnf 5459  df-mnf 5460

Copyright terms: Public domain