Theorem rabss 2127

Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship.

Assertion

Ref	Expression
rabss	⊢ ({x ∈ A∣φ} ⊆ B ↔ ∀x ∈ A (φ → x ∈ B))

Distinct variable group:   x,B

Proof of Theorem rabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 1655	. . 3 ⊢ {x ∈ A∣φ} = {x∣(x ∈ A ⋀ φ)}
2	1	sseq1i 2088	. 2 ⊢ ({x ∈ A∣φ} ⊆ B ↔ {x∣(x ∈ A ⋀ φ)} ⊆ B)
3		abss 2120	. 2 ⊢ ({x∣(x ∈ A ⋀ φ)} ⊆ B ↔ ∀x((x ∈ A ⋀ φ) → x ∈ B))
4		impexp 347	. . . 4 ⊢ (((x ∈ A ⋀ φ) → x ∈ B) ↔ (x ∈ A → (φ → x ∈ B)))
5	4	albii 1001	. . 3 ⊢ (∀x((x ∈ A ⋀ φ) → x ∈ B) ↔ ∀x(x ∈ A → (φ → x ∈ B)))
6		df-ral 1652	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A (φ → x ∈ B) ↔ ∀x(x ∈ A → (φ → x ∈ B)))
7	5, 6	bitr4 176	. 2 ⊢ (∀x((x ∈ A ⋀ φ) → x ∈ B) ↔ ∀x ∈ A (φ → x ∈ B))
8	2, 3, 7	3bitr 177	1 ⊢ ({x ∈ A∣φ} ⊆ B ↔ ∀x ∈ A (φ → x ∈ B))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 956   ∈ wcel 960  {cab 1466  ∀wral 1648  {crab 1651   ⊆ wss 2050

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-12 970  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ral 1652  df-rab 1655  df-in 2054  df-ss 2056

Copyright terms: Public domain