Theorem raluz2 6444

Description: Restricted universal quantification in a set of upper integers.

Assertion

Ref	Expression
raluz2	⊢ (∀n ∈ (ℤ≥ ‘M)φ ↔ (M ∈ ℤ → ∀n ∈ ℤ (M ≤ n → φ)))

Distinct variable group:   n,M

Proof of Theorem raluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2t 6422	. . . . . 6 ⊢ (n ∈ (ℤ≥ ‘M) ↔ (M ∈ ℤ ⋀ n ∈ ℤ ⋀ M ≤ n))
2		3anass 781	. . . . . 6 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ n ∈ ℤ ⋀ M ≤ n) ↔ (M ∈ ℤ ⋀ (n ∈ ℤ ⋀ M ≤ n)))
3	1, 2	bitr 173	. . . . 5 ⊢ (n ∈ (ℤ≥ ‘M) ↔ (M ∈ ℤ ⋀ (n ∈ ℤ ⋀ M ≤ n)))
4	3	imbi1i 186	. . . 4 ⊢ ((n ∈ (ℤ≥ ‘M) → φ) ↔ ((M ∈ ℤ ⋀ (n ∈ ℤ ⋀ M ≤ n)) → φ))
5		impexp 347	. . . . 5 ⊢ (((M ∈ ℤ ⋀ (n ∈ ℤ ⋀ M ≤ n)) → φ) ↔ (M ∈ ℤ → ((n ∈ ℤ ⋀ M ≤ n) → φ)))
6		impexp 347	. . . . . 6 ⊢ (((n ∈ ℤ ⋀ M ≤ n) → φ) ↔ (n ∈ ℤ → (M ≤ n → φ)))
7	6	imbi2i 185	. . . . 5 ⊢ ((M ∈ ℤ → ((n ∈ ℤ ⋀ M ≤ n) → φ)) ↔ (M ∈ ℤ → (n ∈ ℤ → (M ≤ n → φ))))
8	5, 7	bitr 173	. . . 4 ⊢ (((M ∈ ℤ ⋀ (n ∈ ℤ ⋀ M ≤ n)) → φ) ↔ (M ∈ ℤ → (n ∈ ℤ → (M ≤ n → φ))))
9		bi2.04 160	. . . 4 ⊢ ((M ∈ ℤ → (n ∈ ℤ → (M ≤ n → φ))) ↔ (n ∈ ℤ → (M ∈ ℤ → (M ≤ n → φ))))
10	4, 8, 9	3bitr 177	. . 3 ⊢ ((n ∈ (ℤ≥ ‘M) → φ) ↔ (n ∈ ℤ → (M ∈ ℤ → (M ≤ n → φ))))
11	10	ralbii2 1674	. 2 ⊢ (∀n ∈ (ℤ≥ ‘M)φ ↔ ∀n ∈ ℤ (M ∈ ℤ → (M ≤ n → φ)))
12		r19.21v 1719	. 2 ⊢ (∀n ∈ ℤ (M ∈ ℤ → (M ≤ n → φ)) ↔ (M ∈ ℤ → ∀n ∈ ℤ (M ≤ n → φ)))
13	11, 12	bitr 173	1 ⊢ (∀n ∈ (ℤ≥ ‘M)φ ↔ (M ∈ ℤ → ∀n ∈ ℤ (M ≤ n → φ)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   ∈ wcel 960  ∀wral 1648   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188   ≤ cle 5307  ℤcz 5310  ℤ_≥cuz 6418

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-enr 5178  df-nr 5179  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-neg 5370  df-z 6138  df-uz 6419

Copyright terms: Public domain