Theorem rankbnd 4765

Description: The rank of a set is bounded by a bound for the successor of its members.

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankbnd	⊢ (∀x ∈ A suc (rank ‘x) ⊆ B ↔ (rank ‘A) ⊆ B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem rankbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankr1b.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
2	1	rankval4 4764	. . 3 ⊢ (rank ‘A) = ∪x ∈ A suc (rank ‘x)
3	2	sseq1i 2136	. 2 ⊢ ((rank ‘A) ⊆ B ↔ ∪x ∈ A suc (rank ‘x) ⊆ B)
4		iunss 2645	. 2 ⊢ (∪x ∈ A suc (rank ‘x) ⊆ B ↔ ∀x ∈ A suc (rank ‘x) ⊆ B)
5	3, 4	bitr2i 181	1 ⊢ (∀x ∈ A suc (rank ‘x) ⊆ B ↔ (rank ‘A) ⊆ B)

Syntax hints:   ↔ wb 153   ∈ wcel 999  ∀wral 1692  Vcvv 1858   ⊆ wss 2098  ∪ciun 2620  suc csuc 3007   ‘cfv 3239  rankcrnk 4704

This theorem is referenced by:  rankxplim 4774

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-r1 4705  df-rank 4706

Copyright terms: Public domain