Theorem ranksn 4751

Description: The rank of a singleton. Theorem 15.17(v) of [Monk1] p. 112.

Hypothesis

Ref	Expression
ranksn.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ranksn	⊢ (rank ‘{A}) = suc (rank ‘A)

Proof of Theorem ranksn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 1696	. . . . . 6 ⊢ (∀y ∈ {A} (rank ‘y) ∈ x ↔ ∀y(y ∈ {A} → (rank ‘y) ∈ x))
2		elsn 2473	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ {A} ↔ y = A)
3	2	imbi1i 193	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ {A} → (rank ‘y) ∈ x) ↔ (y = A → (rank ‘y) ∈ x))
4	3	albii 1040	. . . . . 6 ⊢ (∀y(y ∈ {A} → (rank ‘y) ∈ x) ↔ ∀y(y = A → (rank ‘y) ∈ x))
5		ranksn.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ V
6		fveq2 3781	. . . . . . . 8 ⊢ (y = A → (rank ‘y) = (rank ‘A))
7	6	eleq1d 1587	. . . . . . 7 ⊢ (y = A → ((rank ‘y) ∈ x ↔ (rank ‘A) ∈ x))
8	5, 7	ceqsalv 1874	. . . . . 6 ⊢ (∀y(y = A → (rank ‘y) ∈ x) ↔ (rank ‘A) ∈ x)
9	1, 4, 8	3bitri 184	. . . . 5 ⊢ (∀y ∈ {A} (rank ‘y) ∈ x ↔ (rank ‘A) ∈ x)
10	9	a1i 8	. . . 4 ⊢ (x ∈ On → (∀y ∈ {A} (rank ‘y) ∈ x ↔ (rank ‘A) ∈ x))
11	10	rabbii 1852	. . 3 ⊢ {x ∈ On∣∀y ∈ {A} (rank ‘y) ∈ x} = {x ∈ On∣(rank ‘A) ∈ x}
12	11	inteqi 2591	. 2 ⊢ ∩{x ∈ On∣∀y ∈ {A} (rank ‘y) ∈ x} = ∩{x ∈ On∣(rank ‘A) ∈ x}
13		snex 2806	. . 3 ⊢ {A} ∈ V
14	13	rankval3 4743	. 2 ⊢ (rank ‘{A}) = ∩{x ∈ On∣∀y ∈ {A} (rank ‘y) ∈ x}
15		rankon 4733	. . 3 ⊢ (rank ‘A) ∈ On
16		onsucmin 3129	. . 3 ⊢ ((rank ‘A) ∈ On → suc (rank ‘A) = ∩{x ∈ On∣(rank ‘A) ∈ x})
17	15, 16	ax-mp 7	. 2 ⊢ suc (rank ‘A) = ∩{x ∈ On∣(rank ‘A) ∈ x}
18	12, 14, 17	3eqtr4i 1552	1 ⊢ (rank ‘{A}) = suc (rank ‘A)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 153  ∀wal 995   = wceq 997   ∈ wcel 999  ∀wral 1692  {crab 1695  Vcvv 1858  {csn 2461  ∩cint 2587  Oncon0 3005  suc csuc 3007   ‘cfv 3239  rankcrnk 4704

This theorem is referenced by:  rankpr 4754  ranksuc 4762

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-r1 4705  df-rank 4706

Copyright terms: Public domain