Theorem rankxpl 4720

Description: A lower bound on the rank of a cross product.

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	⊢ A ∈ V
rankxpl.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankxpl	⊢ ((A × B) ≠ ∅ → (rank ‘(A ∪ B)) ⊆ (rank ‘(A × B)))

Proof of Theorem rankxpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unixp 3523	. . 3 ⊢ ((A × B) ≠ ∅ → ∪∪(A × B) = (A ∪ B))
2	1	fveq2d 3734	. 2 ⊢ ((A × B) ≠ ∅ → (rank ‘∪∪(A × B)) = (rank ‘(A ∪ B)))
3		rankxpl.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ V
4		rankxpl.2	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ V
5	3, 4	xpex 3266	. . . . . 6 ⊢ (A × B) ∈ V
6	5	uniex 2876	. . . . 5 ⊢ ∪(A × B) ∈ V
7	6	rankuniss 4711	. . . 4 ⊢ (rank ‘∪∪(A × B)) ⊆ (rank ‘∪(A × B))
8	5	rankuniss 4711	. . . 4 ⊢ (rank ‘∪(A × B)) ⊆ (rank ‘(A × B))
9	7, 8	sstri 2076	. . 3 ⊢ (rank ‘∪∪(A × B)) ⊆ (rank ‘(A × B))
10	9	a1i 8	. 2 ⊢ ((A × B) ≠ ∅ → (rank ‘∪∪(A × B)) ⊆ (rank ‘(A × B)))
11	2, 10	eqsstr3d 2099	1 ⊢ ((A × B) ≠ ∅ → (rank ‘(A ∪ B)) ⊆ (rank ‘(A × B)))

Syntax hints:   → wi 3   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  Vcvv 1814   ∪ cun 2048   ⊆ wss 2050  ∅c0 2283  ∪cuni 2507   × cxp 3174   ‘cfv 3188  rankcrnk 4652

This theorem is referenced by:  rankxplim 4722

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-r1 4653  df-rank 4654

Copyright terms: Public domain