Theorem reccnv 7218

Description: The sequence of reciprocals of natural numbers converges to zero.

Hypothesis

Ref	Expression
reccnv.1	⊢ F ∈ V

Assertion

Ref	Expression
reccnv	⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) = (1 / k) → F ⇝ 0)

Distinct variable group:   k,F

Proof of Theorem reccnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnreclt 6074	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) → ∃j ∈ ℕ (1 / j) < x)
2	1	adantl 390	. . . . 5 ⊢ ((∀k ∈ ℕ (F ‘k) = (1 / k) ⋀ (x ∈ ℝ ⋀ 0 < x)) → ∃j ∈ ℕ (1 / j) < x)
3		absidt 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1 / k) ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ (1 / k)) → (abs ‘(1 / k)) = (1 / k))
4		nnrecret 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (k ∈ ℕ → (1 / k) ∈ ℝ)
5		0re 5452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		ltlet 5532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ (1 / k) ∈ ℝ) → (0 < (1 / k) → 0 ≤ (1 / k)))
7	5, 6	mpan 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 / k) ∈ ℝ → (0 < (1 / k) → 0 ≤ (1 / k)))
8		nnrecgt0t 5955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (k ∈ ℕ → 0 < (1 / k))
9	7, 4, 8	sylc 68	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (k ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / k))
10	3, 4, 9	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (k ∈ ℕ → (abs ‘(1 / k)) = (1 / k))
11	10	ad2antlr 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((j ∈ ℕ ⋀ k ∈ ℕ) ⋀ j ≤ k) → (abs ‘(1 / k)) = (1 / k))
12		lerect 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((j ∈ ℝ ⋀ 0 < j) ⋀ (k ∈ ℝ ⋀ 0 < k)) → (j ≤ k ↔ (1 / k) ≤ (1 / j)))
13		nnret 5931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (j ∈ ℕ → j ∈ ℝ)
14		nngt0t 5948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (j ∈ ℕ → 0 < j)
15	13, 14	jca 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (j ∈ ℕ → (j ∈ ℝ ⋀ 0 < j))
16		nnret 5931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (k ∈ ℕ → k ∈ ℝ)
17		nngt0t 5948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (k ∈ ℕ → 0 < k)
18	16, 17	jca 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (k ∈ ℕ → (k ∈ ℝ ⋀ 0 < k))
19	12, 15, 18	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((j ∈ ℕ ⋀ k ∈ ℕ) → (j ≤ k ↔ (1 / k) ≤ (1 / j)))
20	19	biimpa 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((j ∈ ℕ ⋀ k ∈ ℕ) ⋀ j ≤ k) → (1 / k) ≤ (1 / j))
21	11, 20	eqbrtrd 2640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((j ∈ ℕ ⋀ k ∈ ℕ) ⋀ j ≤ k) → (abs ‘(1 / k)) ≤ (1 / j))
22	21	adantlll 398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) ⋀ j ∈ ℕ) ⋀ k ∈ ℕ) ⋀ j ≤ k) → (abs ‘(1 / k)) ≤ (1 / j))
23		lelttrt 5535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((abs ‘(1 / k)) ∈ ℝ ⋀ (1 / j) ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (((abs ‘(1 / k)) ≤ (1 / j) ⋀ (1 / j) < x) → (abs ‘(1 / k)) < x))
24	4	recnd 5327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (k ∈ ℕ → (1 / k) ∈ ℂ)
25		absclt 6833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 / k) ∈ ℂ → (abs ‘(1 / k)) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (k ∈ ℕ → (abs ‘(1 / k)) ∈ ℝ)
27	26	adantl 390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((x ∈ ℝ ⋀ j ∈ ℕ) ⋀ k ∈ ℕ) → (abs ‘(1 / k)) ∈ ℝ)
28		nnrecret 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (j ∈ ℕ → (1 / j) ∈ ℝ)
29	28	ad2antlr 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((x ∈ ℝ ⋀ j ∈ ℕ) ⋀ k ∈ ℕ) → (1 / j) ∈ ℝ)
30		simpll 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((x ∈ ℝ ⋀ j ∈ ℕ) ⋀ k ∈ ℕ) → x ∈ ℝ)
31	23, 27, 29, 30	syl3anc 860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((x ∈ ℝ ⋀ j ∈ ℕ) ⋀ k ∈ ℕ) → (((abs ‘(1 / k)) ≤ (1 / j) ⋀ (1 / j) < x) → (abs ‘(1 / k)) < x))
32	31	adantllr 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) ⋀ j ∈ ℕ) ⋀ k ∈ ℕ) → (((abs ‘(1 / k)) ≤ (1 / j) ⋀ (1 / j) < x) → (abs ‘(1 / k)) < x))
33	32	adantr 391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) ⋀ j ∈ ℕ) ⋀ k ∈ ℕ) ⋀ j ≤ k) → (((abs ‘(1 / k)) ≤ (1 / j) ⋀ (1 / j) < x) → (abs ‘(1 / k)) < x))
34	22, 33	mpand 703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) ⋀ j ∈ ℕ) ⋀ k ∈ ℕ) ⋀ j ≤ k) → ((1 / j) < x → (abs ‘(1 / k)) < x))
35	34	exp31 378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) ⋀ j ∈ ℕ) → (k ∈ ℕ → (j ≤ k → ((1 / j) < x → (abs ‘(1 / k)) < x))))
36	35	com23 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) ⋀ j ∈ ℕ) → (j ≤ k → (k ∈ ℕ → ((1 / j) < x → (abs ‘(1 / k)) < x))))
37	36	com24 37	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) ⋀ j ∈ ℕ) → ((1 / j) < x → (k ∈ ℕ → (j ≤ k → (abs ‘(1 / k)) < x))))
38	37	ex 373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) → (j ∈ ℕ → ((1 / j) < x → (k ∈ ℕ → (j ≤ k → (abs ‘(1 / k)) < x)))))
39	38	imp42 369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) ⋀ (j ∈ ℕ ⋀ (1 / j) < x)) ⋀ k ∈ ℕ) → (j ≤ k → (abs ‘(1 / k)) < x))
40		fveq2 3730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((F ‘k) = (1 / k) → (abs ‘(F ‘k)) = (abs ‘(1 / k)))
41	40	breq1d 2634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((F ‘k) = (1 / k) → ((abs ‘(F ‘k)) < x ↔ (abs ‘(1 / k)) < x))
42	41	biimprd 154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((F ‘k) = (1 / k) → ((abs ‘(1 / k)) < x → (abs ‘(F ‘k)) < x))
43	39, 42	syl9 57	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) ⋀ (j ∈ ℕ ⋀ (1 / j) < x)) ⋀ k ∈ ℕ) → ((F ‘k) = (1 / k) → (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x)))
44	43	r19.20dva 1712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) ⋀ (j ∈ ℕ ⋀ (1 / j) < x)) → (∀k ∈ ℕ (F ‘k) = (1 / k) → ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x)))
45	44	exp32 379	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) → (j ∈ ℕ → ((1 / j) < x → (∀k ∈ ℕ (F ‘k) = (1 / k) → ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x)))))
46	45	com4r 41	. . . . . . 7 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) = (1 / k) → ((x ∈ ℝ ⋀ 0 < x) → (j ∈ ℕ → ((1 / j) < x → ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x)))))
47	46	imp 350	. . . . . 6 ⊢ ((∀k ∈ ℕ (F ‘k) = (1 / k) ⋀ (x ∈ ℝ ⋀ 0 < x)) → (j ∈ ℕ → ((1 / j) < x → ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x))))
48	47	r19.22dv 1740	. . . . 5 ⊢ ((∀k ∈ ℕ (F ‘k) = (1 / k) ⋀ (x ∈ ℝ ⋀ 0 < x)) → (∃j ∈ ℕ (1 / j) < x → ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x)))
49	2, 48	mpd 26	. . . 4 ⊢ ((∀k ∈ ℕ (F ‘k) = (1 / k) ⋀ (x ∈ ℝ ⋀ 0 < x)) → ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x))
50	49	exp32 379	. . 3 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) = (1 / k) → (x ∈ ℝ → (0 < x → ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x))))
51	50	r19.21aiv 1716	. 2 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) = (1 / k) → ∀x ∈ ℝ (0 < x → ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x)))
52		eleq1 1537	. . . . 5 ⊢ ((F ‘k) = (1 / k) → ((F ‘k) ∈ ℂ ↔ (1 / k) ∈ ℂ))
53	52, 24	syl5cbir 211	. . . 4 ⊢ (k ∈ ℕ → ((F ‘k) = (1 / k) → (F ‘k) ∈ ℂ))
54	53	r19.20i 1707	. . 3 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) = (1 / k) → ∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ)
55		1z 6161	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
56		nnuz 6440	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥ ‘1)
57	56	eqimss2i 2115	. . . 4 ⊢ (ℤ≥ ‘1) ⊆ ℕ
58		nnssz 6153	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
59		reccnv.1	. . . 4 ⊢ F ∈ V
60	55, 57, 58, 55, 57, 58, 59	clm0 7083	. . 3 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ → (F ⇝ 0 ↔ ∀x ∈ ℝ (0 < x → ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x))))
61	54, 60	syl 10	. 2 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) = (1 / k) → (F ⇝ 0 ↔ ∀x ∈ ℝ (0 < x → ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x))))
62	51, 61	mpbird 196	1 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) = (1 / k) → F ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  ∃wrex 1649  Vcvv 1814   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   / cdiv 5306   ≤ cle 5307  ℕcn 5308   < clt 5498  ℤ_≥cuz 6418  abscabs 6751   ⇝ cli 6974

This theorem is referenced by:  infcvglem2 7222

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-uz 6419  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain