Theorem recex 5749

Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
recex	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ∃x ∈ ℂ (A · x) = 1)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcnre 5351	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃a ∈ ℝ ∃b ∈ ℝ A = (a + (i · b)))
2		recextlem2 5748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ ⋀ (a + (i · b)) ≠ 0) → ((a · a) + (b · b)) ≠ 0)
3	2	3expia 847	. . . . . . . 8 ⊢ ((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) → ((a + (i · b)) ≠ 0 → ((a · a) + (b · b)) ≠ 0))
4		axrrecex 5349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((a · a) + (b · b)) ∈ ℝ ⋀ ((a · a) + (b · b)) ≠ 0) → ∃y ∈ ℝ (((a · a) + (b · b)) · y) = 1)
5		readdcl 5367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((a · a) ∈ ℝ ⋀ (b · b) ∈ ℝ) → ((a · a) + (b · b)) ∈ ℝ)
6		remulcl 5369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((a ∈ ℝ ⋀ a ∈ ℝ) → (a · a) ∈ ℝ)
7	6	anidms 444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (a ∈ ℝ → (a · a) ∈ ℝ)
8		remulcl 5369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((b ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) → (b · b) ∈ ℝ)
9	8	anidms 444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (b ∈ ℝ → (b · b) ∈ ℝ)
10	5, 7, 9	syl2an 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) → ((a · a) + (b · b)) ∈ ℝ)
11	4, 10	sylan 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) ⋀ ((a · a) + (b · b)) ≠ 0) → ∃y ∈ ℝ (((a · a) + (b · b)) · y) = 1)
12		opreq2 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x = ((a − (i · b)) · y) → ((a + (i · b)) · x) = ((a + (i · b)) · ((a − (i · b)) · y)))
13	12	eqeq1d 1530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (x = ((a − (i · b)) · y) → (((a + (i · b)) · x) = 1 ↔ ((a + (i · b)) · ((a − (i · b)) · y)) = 1))
14	13	rcla4ev 1924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((a − (i · b)) · y) ∈ ℂ ⋀ ((a + (i · b)) · ((a − (i · b)) · y)) = 1) → ∃x ∈ ℂ ((a + (i · b)) · x) = 1)
15		mulcl 5368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((a − (i · b)) ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → ((a − (i · b)) · y) ∈ ℂ)
16		subcl 5432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((a ∈ ℂ ⋀ (i · b) ∈ ℂ) → (a − (i · b)) ∈ ℂ)
17		axicn 5335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ i ∈ ℂ
18		mulcl 5368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((i ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) → (i · b) ∈ ℂ)
19	17, 18	mpan 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (b ∈ ℂ → (i · b) ∈ ℂ)
20	16, 19	sylan2 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) → (a − (i · b)) ∈ ℂ)
21	15, 20	sylan 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → ((a − (i · b)) · y) ∈ ℂ)
22	21	adantr 398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ (((a · a) + (b · b)) · y) = 1) → ((a − (i · b)) · y) ∈ ℂ)
23		mulass 5373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((a + (i · b)) ∈ ℂ ⋀ (a − (i · b)) ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (((a + (i · b)) · (a − (i · b))) · y) = ((a + (i · b)) · ((a − (i · b)) · y)))
24		addcl 5366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((a ∈ ℂ ⋀ (i · b) ∈ ℂ) → (a + (i · b)) ∈ ℂ)
25	24, 19	sylan2 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) → (a + (i · b)) ∈ ℂ)
26	25	adantr 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → (a + (i · b)) ∈ ℂ)
27	20	adantr 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → (a − (i · b)) ∈ ℂ)
28		pm3.27 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → y ∈ ℂ)
29	23, 26, 27, 28	syl3anc 870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → (((a + (i · b)) · (a − (i · b))) · y) = ((a + (i · b)) · ((a − (i · b)) · y)))
30		recextlem1 5747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) → ((a + (i · b)) · (a − (i · b))) = ((a · a) + (b · b)))
31	30	adantr 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → ((a + (i · b)) · (a − (i · b))) = ((a · a) + (b · b)))
32	31	opreq1d 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → (((a + (i · b)) · (a − (i · b))) · y) = (((a · a) + (b · b)) · y))
33	29, 32	eqtr3d 1556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) → ((a + (i · b)) · ((a − (i · b)) · y)) = (((a · a) + (b · b)) · y))
34		id 59	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((a · a) + (b · b)) · y) = 1 → (((a · a) + (b · b)) · y) = 1)
35	33, 34	sylan9eq 1574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ (((a · a) + (b · b)) · y) = 1) → ((a + (i · b)) · ((a − (i · b)) · y)) = 1)
36	14, 22, 35	sylanc 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ (((a · a) + (b · b)) · y) = 1) → ∃x ∈ ℂ ((a + (i · b)) · x) = 1)
37	36	exp31 385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) → (y ∈ ℂ → ((((a · a) + (b · b)) · y) = 1 → ∃x ∈ ℂ ((a + (i · b)) · x) = 1)))
38		recn 5378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℝ → y ∈ ℂ)
39	37, 38	syl5 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) → (y ∈ ℝ → ((((a · a) + (b · b)) · y) = 1 → ∃x ∈ ℂ ((a + (i · b)) · x) = 1)))
40	39	r19.23adv 1793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((a ∈ ℂ ⋀ b ∈ ℂ) → (∃y ∈ ℝ (((a · a) + (b · b)) · y) = 1 → ∃x ∈ ℂ ((a + (i · b)) · x) = 1))
41		recn 5378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (a ∈ ℝ → a ∈ ℂ)
42		recn 5378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (b ∈ ℝ → b ∈ ℂ)
43	40, 41, 42	syl2an 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) → (∃y ∈ ℝ (((a · a) + (b · b)) · y) = 1 → ∃x ∈ ℂ ((a + (i · b)) · x) = 1))
44	43	adantr 398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) ⋀ ((a · a) + (b · b)) ≠ 0) → (∃y ∈ ℝ (((a · a) + (b · b)) · y) = 1 → ∃x ∈ ℂ ((a + (i · b)) · x) = 1))
45	11, 44	mpd 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) ⋀ ((a · a) + (b · b)) ≠ 0) → ∃x ∈ ℂ ((a + (i · b)) · x) = 1)
46	45	ex 380	. . . . . . . 8 ⊢ ((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) → (((a · a) + (b · b)) ≠ 0 → ∃x ∈ ℂ ((a + (i · b)) · x) = 1))
47	3, 46	syld 27	. . . . . . 7 ⊢ ((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) → ((a + (i · b)) ≠ 0 → ∃x ∈ ℂ ((a + (i · b)) · x) = 1))
48	47	adantr 398	. . . . . 6 ⊢ (((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) ⋀ A = (a + (i · b))) → ((a + (i · b)) ≠ 0 → ∃x ∈ ℂ ((a + (i · b)) · x) = 1))
49		neeq1 1637	. . . . . . 7 ⊢ (A = (a + (i · b)) → (A ≠ 0 ↔ (a + (i · b)) ≠ 0))
50	49	adantl 397	. . . . . 6 ⊢ (((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) ⋀ A = (a + (i · b))) → (A ≠ 0 ↔ (a + (i · b)) ≠ 0))
51		opreq1 4026	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = (a + (i · b)) → (A · x) = ((a + (i · b)) · x))
52	51	eqeq1d 1530	. . . . . . . 8 ⊢ (A = (a + (i · b)) → ((A · x) = 1 ↔ ((a + (i · b)) · x) = 1))
53	52	rexbidv 1711	. . . . . . 7 ⊢ (A = (a + (i · b)) → (∃x ∈ ℂ (A · x) = 1 ↔ ∃x ∈ ℂ ((a + (i · b)) · x) = 1))
54	53	adantl 397	. . . . . 6 ⊢ (((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) ⋀ A = (a + (i · b))) → (∃x ∈ ℂ (A · x) = 1 ↔ ∃x ∈ ℂ ((a + (i · b)) · x) = 1))
55	48, 50, 54	3imtr4d 554	. . . . 5 ⊢ (((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) ⋀ A = (a + (i · b))) → (A ≠ 0 → ∃x ∈ ℂ (A · x) = 1))
56	55	ex 380	. . . 4 ⊢ ((a ∈ ℝ ⋀ b ∈ ℝ) → (A = (a + (i · b)) → (A ≠ 0 → ∃x ∈ ℂ (A · x) = 1)))
57	56	r19.23aivv 1795	. . 3 ⊢ (∃a ∈ ℝ ∃b ∈ ℝ A = (a + (i · b)) → (A ≠ 0 → ∃x ∈ ℂ (A · x) = 1))
58	1, 57	syl 10	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (A ≠ 0 → ∃x ∈ ℂ (A · x) = 1))
59	58	imp 357	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ∃x ∈ ℂ (A · x) = 1)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 153   ⋀ wa 230   = wceq 997   ∈ wcel 999   ≠ wne 1632  ∃wrex 1693  (class class class)co 4021  ℂcc 5297  ℝcr 5298  0cc0 5299  1c1 5300  ici 5301   + caddc 5302   · cmul 5304   − cmin 5357

This theorem is referenced by:  recexi 5750

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556

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