Theorem recexpr 5172

Description: The reciprocal of a positive real exists. Part of Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124.

Assertion

Ref	Expression
recexpr	⊢ (A ∈ P → ∃x(x ∈ P ⋀ (A ·P x) = 1P))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recexpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3975	. . . . 5 ⊢ (x = {z∣∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)} → (A ·P x) = (A ·P {z∣∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}))
2	1	eqeq1d 1486	. . . 4 ⊢ (x = {z∣∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)} → ((A ·P x) = 1P ↔ (A ·P {z∣∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}) = 1P))
3	2	cla4egv 1866	. . 3 ⊢ ({z∣∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)} ∈ P → ((A ·P {z∣∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}) = 1P → ∃x(A ·P x) = 1P))
4		breq1 2627	. . . . . . 7 ⊢ (z = w → (z <Q y ↔ w <Q y))
5	4	anbi1d 619	. . . . . 6 ⊢ (z = w → ((z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ (w <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
6	5	exbidv 1281	. . . . 5 ⊢ (z = w → (∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ∃y(w <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
7	6	cbvabv 1912	. . . 4 ⊢ {z∣∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)} = {w∣∃y(w <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}
8	7	reclem2pr 5169	. . 3 ⊢ (A ∈ P → {z∣∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)} ∈ P)
9	7	reclem4pr 5171	. . 3 ⊢ (A ∈ P → (A ·P {z∣∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}) = 1P)
10	3, 8, 9	sylc 68	. 2 ⊢ (A ∈ P → ∃x(A ·P x) = 1P)
11		1pr 5129	. . . . . . 7 ⊢ 1P ∈ P
12		eleq1 1537	. . . . . . 7 ⊢ ((A ·P x) = 1P → ((A ·P x) ∈ P ↔ 1P ∈ P))
13	11, 12	mpbiri 194	. . . . . 6 ⊢ ((A ·P x) = 1P → (A ·P x) ∈ P)
14		visset 1816	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
15		dmmp 5128	. . . . . . 7 ⊢ dom ·P = (P × P)
16		0npr 5108	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
17	14, 15, 16	ndmoprrcl 4052	. . . . . 6 ⊢ ((A ·P x) ∈ P → (A ∈ P ⋀ x ∈ P))
18	13, 17	syl 10	. . . . 5 ⊢ ((A ·P x) = 1P → (A ∈ P ⋀ x ∈ P))
19	18	pm3.27d 325	. . . 4 ⊢ ((A ·P x) = 1P → x ∈ P)
20	19	ancri 297	. . 3 ⊢ ((A ·P x) = 1P → (x ∈ P ⋀ (A ·P x) = 1P))
21	20	19.22i 1042	. 2 ⊢ (∃x(A ·P x) = 1P → ∃x(x ∈ P ⋀ (A ·P x) = 1P))
22	10, 21	syl 10	1 ⊢ (A ∈ P → ∃x(x ∈ P ⋀ (A ·P x) = 1P))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  {cab 1466   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  *_Qcrq 4995   <_Q cltq 4996  Pcnp 4997  1_Pc1p 4998   ·_P cmp 5000

This theorem is referenced by:  recexsrlem 5224

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-mp 5101

Copyright terms: Public domain