Theorem recexpt 6596

Description: Nonnegative integer exponentiation of a reciprocal.

Assertion

Ref	Expression
recexpt	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0 ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑N) = (1 / (A↑N)))

Proof of Theorem recexpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3975	. . . . . . 7 ⊢ (j = 0 → ((1 / A)↑j) = ((1 / A)↑0))
2		opreq2 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (j = 0 → (A↑j) = (A↑0))
3	2	opreq2d 3982	. . . . . . 7 ⊢ (j = 0 → (1 / (A↑j)) = (1 / (A↑0)))
4	1, 3	eqeq12d 1492	. . . . . 6 ⊢ (j = 0 → (((1 / A)↑j) = (1 / (A↑j)) ↔ ((1 / A)↑0) = (1 / (A↑0))))
5	4	imbi2d 614	. . . . 5 ⊢ (j = 0 → (((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑j) = (1 / (A↑j))) ↔ ((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑0) = (1 / (A↑0)))))
6		opreq2 3975	. . . . . . 7 ⊢ (j = k → ((1 / A)↑j) = ((1 / A)↑k))
7		opreq2 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (j = k → (A↑j) = (A↑k))
8	7	opreq2d 3982	. . . . . . 7 ⊢ (j = k → (1 / (A↑j)) = (1 / (A↑k)))
9	6, 8	eqeq12d 1492	. . . . . 6 ⊢ (j = k → (((1 / A)↑j) = (1 / (A↑j)) ↔ ((1 / A)↑k) = (1 / (A↑k))))
10	9	imbi2d 614	. . . . 5 ⊢ (j = k → (((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑j) = (1 / (A↑j))) ↔ ((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑k) = (1 / (A↑k)))))
11		opreq2 3975	. . . . . . 7 ⊢ (j = (k + 1) → ((1 / A)↑j) = ((1 / A)↑(k + 1)))
12		opreq2 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (j = (k + 1) → (A↑j) = (A↑(k + 1)))
13	12	opreq2d 3982	. . . . . . 7 ⊢ (j = (k + 1) → (1 / (A↑j)) = (1 / (A↑(k + 1))))
14	11, 13	eqeq12d 1492	. . . . . 6 ⊢ (j = (k + 1) → (((1 / A)↑j) = (1 / (A↑j)) ↔ ((1 / A)↑(k + 1)) = (1 / (A↑(k + 1)))))
15	14	imbi2d 614	. . . . 5 ⊢ (j = (k + 1) → (((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑j) = (1 / (A↑j))) ↔ ((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑(k + 1)) = (1 / (A↑(k + 1))))))
16		opreq2 3975	. . . . . . 7 ⊢ (j = N → ((1 / A)↑j) = ((1 / A)↑N))
17		opreq2 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (j = N → (A↑j) = (A↑N))
18	17	opreq2d 3982	. . . . . . 7 ⊢ (j = N → (1 / (A↑j)) = (1 / (A↑N)))
19	16, 18	eqeq12d 1492	. . . . . 6 ⊢ (j = N → (((1 / A)↑j) = (1 / (A↑j)) ↔ ((1 / A)↑N) = (1 / (A↑N))))
20	19	imbi2d 614	. . . . 5 ⊢ (j = N → (((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑j) = (1 / (A↑j))) ↔ ((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑N) = (1 / (A↑N)))))
21		recclt 5727	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → (1 / A) ∈ ℂ)
22		exp0t 6572	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / A) ∈ ℂ → ((1 / A)↑0) = 1)
23	21, 22	syl 10	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑0) = 1)
24		exp0t 6572	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℂ → (A↑0) = 1)
25	24	opreq2d 3982	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ → (1 / (A↑0)) = (1 / 1))
26		ax1cn 5281	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
27	26	div1 5773	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 1) = 1
28	25, 27	syl6eq 1526	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℂ → (1 / (A↑0)) = 1)
29	28	adantr 391	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → (1 / (A↑0)) = 1)
30	23, 29	eqtr4d 1513	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑0) = (1 / (A↑0)))
31		opreq1 3974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / A)↑k) = (1 / (A↑k)) → (((1 / A)↑k) · (1 / A)) = ((1 / (A↑k)) · (1 / A)))
32	31	ad2antll 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) ⋀ (A ≠ 0 ⋀ ((1 / A)↑k) = (1 / (A↑k)))) → (((1 / A)↑k) · (1 / A)) = ((1 / (A↑k)) · (1 / A)))
33		expp1t 6575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / A) ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) → ((1 / A)↑(k + 1)) = (((1 / A)↑k) · (1 / A)))
34	33, 21	sylan 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) ⋀ k ∈ ℕ0) → ((1 / A)↑(k + 1)) = (((1 / A)↑k) · (1 / A)))
35	34	an1rs 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑(k + 1)) = (((1 / A)↑k) · (1 / A)))
36	35	adantrr 397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) ⋀ (A ≠ 0 ⋀ ((1 / A)↑k) = (1 / (A↑k)))) → ((1 / A)↑(k + 1)) = (((1 / A)↑k) · (1 / A)))
37		expp1t 6575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) → (A↑(k + 1)) = ((A↑k) · A))
38	37	opreq2d 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) → (1 / (A↑(k + 1))) = (1 / ((A↑k) · A)))
39	38	adantr 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) ⋀ A ≠ 0) → (1 / (A↑(k + 1))) = (1 / ((A↑k) · A)))
40		divmuldivt 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((1 ∈ ℂ ⋀ (A↑k) ∈ ℂ) ⋀ (1 ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ)) ⋀ ((A↑k) ≠ 0 ⋀ A ≠ 0)) → ((1 / (A↑k)) · (1 / A)) = ((1 · 1) / ((A↑k) · A)))
41		expclt 6582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) → (A↑k) ∈ ℂ)
42	41, 26	jctil 292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) → (1 ∈ ℂ ⋀ (A↑k) ∈ ℂ))
43		pm3.26 319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) → A ∈ ℂ)
44	43, 26	jctil 292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) → (1 ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ))
45	42, 44	jca 288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) → ((1 ∈ ℂ ⋀ (A↑k) ∈ ℂ) ⋀ (1 ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ)))
46	45	adantr 391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) ⋀ A ≠ 0) → ((1 ∈ ℂ ⋀ (A↑k) ∈ ℂ) ⋀ (1 ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ)))
47		expne0it 6589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0 ⋀ A ≠ 0) → (A↑k) ≠ 0)
48	47	3expa 835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) ⋀ A ≠ 0) → (A↑k) ≠ 0)
49		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) ⋀ A ≠ 0) → A ≠ 0)
50	48, 49	jca 288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) ⋀ A ≠ 0) → ((A↑k) ≠ 0 ⋀ A ≠ 0))
51	40, 46, 50	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) ⋀ A ≠ 0) → ((1 / (A↑k)) · (1 / A)) = ((1 · 1) / ((A↑k) · A)))
52	26	mulid1 5344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 1) = 1
53	52	opreq1i 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 1) / ((A↑k) · A)) = (1 / ((A↑k) · A))
54	51, 53	syl6req 1527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) ⋀ A ≠ 0) → (1 / ((A↑k) · A)) = ((1 / (A↑k)) · (1 / A)))
55	39, 54	eqtrd 1510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) ⋀ A ≠ 0) → (1 / (A↑(k + 1))) = ((1 / (A↑k)) · (1 / A)))
56	55	adantrr 397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) ⋀ (A ≠ 0 ⋀ ((1 / A)↑k) = (1 / (A↑k)))) → (1 / (A↑(k + 1))) = ((1 / (A↑k)) · (1 / A)))
57	32, 36, 56	3eqtr4d 1520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ0) ⋀ (A ≠ 0 ⋀ ((1 / A)↑k) = (1 / (A↑k)))) → ((1 / A)↑(k + 1)) = (1 / (A↑(k + 1))))
58	57	exp43 386	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ → (k ∈ ℕ0 → (A ≠ 0 → (((1 / A)↑k) = (1 / (A↑k)) → ((1 / A)↑(k + 1)) = (1 / (A↑(k + 1)))))))
59	58	com12 11	. . . . . . 7 ⊢ (k ∈ ℕ0 → (A ∈ ℂ → (A ≠ 0 → (((1 / A)↑k) = (1 / (A↑k)) → ((1 / A)↑(k + 1)) = (1 / (A↑(k + 1)))))))
60	59	imp3a 361	. . . . . 6 ⊢ (k ∈ ℕ0 → ((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → (((1 / A)↑k) = (1 / (A↑k)) → ((1 / A)↑(k + 1)) = (1 / (A↑(k + 1))))))
61	60	a2d 13	. . . . 5 ⊢ (k ∈ ℕ0 → (((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑k) = (1 / (A↑k))) → ((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑(k + 1)) = (1 / (A↑(k + 1))))))
62	5, 10, 15, 20, 30, 61	nn0ind 6214	. . . 4 ⊢ (N ∈ ℕ0 → ((A ∈ ℂ ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑N) = (1 / (A↑N))))
63	62	exp3a 376	. . 3 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (A ∈ ℂ → (A ≠ 0 → ((1 / A)↑N) = (1 / (A↑N)))))
64	63	com12 11	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (N ∈ ℕ0 → (A ≠ 0 → ((1 / A)↑N) = (1 / (A↑N)))))
65	64	3imp 829	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0 ⋀ A ≠ 0) → ((1 / A)↑N) = (1 / (A↑N)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   · cmul 5251   / cdiv 5306  ℕ₀cn0 5309  ↑cexp 6569

This theorem is referenced by:  divexpt 6600  expord2t 6605  exple1t 6608  expcnvlem2 7228  0.999... 7246  erelem3 7321  ef1tllem 7381

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570

Copyright terms: Public domain