Theorem recexsr 5228

Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126.

Hypothesis

Ref	Expression
recexsr.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
recexsr	⊢ (A ∈ R → (¬ A = 0R → ∃x(x ∈ R ⋀ (A ·R x) = 1R)))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recexsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexsr.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
2	1	sqgt0sr 5227	. 2 ⊢ (A ∈ R → (¬ A = 0R → 0R <R (A ·R A)))
3		oprex 3989	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ·R y) ∈ V
4		eleq1 1537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (A ·R y) → (x ∈ R ↔ (A ·R y) ∈ R))
5		opreq2 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = (A ·R y) → (A ·R x) = (A ·R (A ·R y)))
6	5	eqeq1d 1486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (A ·R y) → ((A ·R x) = 1R ↔ (A ·R (A ·R y)) = 1R))
7	4, 6	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (A ·R y) → ((x ∈ R ⋀ (A ·R x) = 1R) ↔ ((A ·R y) ∈ R ⋀ (A ·R (A ·R y)) = 1R)))
8	3, 7	cla4ev 1872	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ·R y) ∈ R ⋀ (A ·R (A ·R y)) = 1R) → ∃x(x ∈ R ⋀ (A ·R x) = 1R))
9		visset 1816	. . . . . . . . . 10 ⊢ y ∈ V
10	1, 9	mulasssr 5211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ·R A) ·R y) = (A ·R (A ·R y))
11	10	eqeq1i 1485	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ·R A) ·R y) = 1R ↔ (A ·R (A ·R y)) = 1R)
12	8, 11	sylan2b 454	. . . . . . 7 ⊢ (((A ·R y) ∈ R ⋀ ((A ·R A) ·R y) = 1R) → ∃x(x ∈ R ⋀ (A ·R x) = 1R))
13		mulclsr 5205	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ R ⋀ y ∈ R) → (A ·R y) ∈ R)
14	12, 13	sylan 450	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ ((A ·R A) ·R y) = 1R) → ∃x(x ∈ R ⋀ (A ·R x) = 1R))
15	14	exp31 378	. . . . 5 ⊢ (A ∈ R → (y ∈ R → (((A ·R A) ·R y) = 1R → ∃x(x ∈ R ⋀ (A ·R x) = 1R))))
16	15	imp3a 361	. . . 4 ⊢ (A ∈ R → ((y ∈ R ⋀ ((A ·R A) ·R y) = 1R) → ∃x(x ∈ R ⋀ (A ·R x) = 1R)))
17	16	19.23adv 1216	. . 3 ⊢ (A ∈ R → (∃y(y ∈ R ⋀ ((A ·R A) ·R y) = 1R) → ∃x(x ∈ R ⋀ (A ·R x) = 1R)))
18		oprex 3989	. . . 4 ⊢ (A ·R A) ∈ V
19	18	recexsrlem 5224	. . 3 ⊢ (0R <R (A ·R A) → ∃y(y ∈ R ⋀ ((A ·R A) ·R y) = 1R))
20	17, 19	syl5 21	. 2 ⊢ (A ∈ R → (0R <R (A ·R A) → ∃x(x ∈ R ⋀ (A ·R x) = 1R)))
21	2, 20	syld 27	1 ⊢ (A ∈ R → (¬ A = 0R → ∃x(x ∈ R ⋀ (A ·R x) = 1R)))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  Rcnr 5005  0_Rc0r 5006  1_Rc1r 5007   ·_R cmr 5010   <_R cltr 5011

This theorem is referenced by:  axrrecex 5296

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185

Copyright terms: Public domain