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Theorem recexsrlem 5277

Description: The reciprocal of a positive signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126.

**Hypothesis**
Ref	Expression
recexsrlem.1	⊢ A ∈ V

**Assertion**
Ref	Expression
recexsrlem	⊢ (0_R <_R A → ∃x(x ∈ R ⋀ (A ·_R x) = 1_R))

Distinct variable group: x,A

**Proof of Theorem recexsrlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexsrlem.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
2		ltrelsr 5245	. . . . 5 ⊢ <_R ⊆ (R × R)
3	1, 2	brel 3280	. . . 4 ⊢ (0_R <_R A → (0_R ∈ R ⋀ A ∈ R))
4	3	pm3.27d 332	. . 3 ⊢ (0_R <_R A → A ∈ R)
5		df-nr 5232	. . . 4 ⊢ R = ((P × P) / ~_R )
6		breq2 2678	. . . . 5 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~_R = A → (0_R <_R [⟨y, z⟩] ~_R ↔ 0_R <_R A))
7		opreq1 4026	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~_R = A → ([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = (A ·_R x))
8	7	eqeq1d 1530	. . . . . 6 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~_R = A → (([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = 1_R ↔ (A ·_R x) = 1_R))
9	8	exbidv 1321	. . . . 5 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~_R = A → (∃x([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = 1_R ↔ ∃x(A ·_R x) = 1_R))
10	6, 9	imbi12d 637	. . . 4 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~_R = A → ((0_R <_R [⟨y, z⟩] ~_R → ∃x([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = 1_R) ↔ (0_R <_R A → ∃x(A ·_R x) = 1_R)))
11		1pr 5182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1_P ∈ P
12		addclpr 5185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((v ∈ P ⋀ 1_P ∈ P) → (v +_P 1_P) ∈ P)
13	11, 12	mpan2 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (v ∈ P → (v +_P 1_P) ∈ P)
14	13, 11	jctir 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (v ∈ P → ((v +_P 1_P) ∈ P ⋀ 1_P ∈ P))
15	14	anim2i 342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ v ∈ P) → ((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ ((v +_P 1_P) ∈ P ⋀ 1_P ∈ P)))
16	15	adantr 398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ v ∈ P) ⋀ ((w ·_P v) = 1_P ⋀ (z +_P w) = y)) → ((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ ((v +_P 1_P) ∈ P ⋀ 1_P ∈ P)))
17		mulsrpr 5250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ ((v +_P 1_P) ∈ P ⋀ 1_P ∈ P)) → ([⟨y, z⟩] ~_R ·_R [⟨(v +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) = [⟨((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)), ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P)))⟩] ~_R )
18	16, 17	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ v ∈ P) ⋀ ((w ·_P v) = 1_P ⋀ (z +_P w) = y)) → ([⟨y, z⟩] ~_R ·_R [⟨(v +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) = [⟨((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)), ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P)))⟩] ~_R )
19		addclpr 5185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((y ·_P (v +_P 1_P)) ∈ P ⋀ (z ·_P 1_P) ∈ P) → ((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)) ∈ P)
20		mulclpr 5187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((y ∈ P ⋀ (v +_P 1_P) ∈ P) → (y ·_P (v +_P 1_P)) ∈ P)
21	20, 13	sylan2 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((y ∈ P ⋀ v ∈ P) → (y ·_P (v +_P 1_P)) ∈ P)
22		mulclpr 5187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((z ∈ P ⋀ 1_P ∈ P) → (z ·_P 1_P) ∈ P)
23	11, 22	mpan2 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (z ∈ P → (z ·_P 1_P) ∈ P)
24	19, 21, 23	syl2an 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((y ∈ P ⋀ v ∈ P) ⋀ z ∈ P) → ((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)) ∈ P)
25	24	an1rs 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ v ∈ P) → ((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)) ∈ P)
26		addclpr 5185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((y ·_P 1_P) ∈ P ⋀ (z ·_P (v +_P 1_P)) ∈ P) → ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P))) ∈ P)
27		mulclpr 5187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((y ∈ P ⋀ 1_P ∈ P) → (y ·_P 1_P) ∈ P)
28	11, 27	mpan2 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (y ∈ P → (y ·_P 1_P) ∈ P)
29		mulclpr 5187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((z ∈ P ⋀ (v +_P 1_P) ∈ P) → (z ·_P (v +_P 1_P)) ∈ P)
30	29, 13	sylan2 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((z ∈ P ⋀ v ∈ P) → (z ·_P (v +_P 1_P)) ∈ P)
31	26, 28, 30	syl2an 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((y ∈ P ⋀ (z ∈ P ⋀ v ∈ P)) → ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P))) ∈ P)
32	31	anassrs 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ v ∈ P) → ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P))) ∈ P)
33	25, 32	jca 295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ v ∈ P) → (((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)) ∈ P ⋀ ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P))) ∈ P))
34		addclpr 5185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1_P ∈ P ⋀ 1_P ∈ P) → (1_P +_P 1_P) ∈ P)
35	11, 11, 34	mp2an 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1_P +_P 1_P) ∈ P
36	35, 11	pm3.2i 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1_P +_P 1_P) ∈ P ⋀ 1_P ∈ P)
37	33, 36	jctir 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ v ∈ P) → ((((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)) ∈ P ⋀ ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P))) ∈ P) ⋀ ((1_P +_P 1_P) ∈ P ⋀ 1_P ∈ P)))
38		enreceq 5242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)) ∈ P ⋀ ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P))) ∈ P) ⋀ ((1_P +_P 1_P) ∈ P ⋀ 1_P ∈ P)) → ([⟨((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)), ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P)))⟩] ~_R = [⟨(1_P +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ↔ (((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)) +_P 1_P) = (((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P))) +_P (1_P +_P 1_P))))
39	37, 38	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ v ∈ P) → ([⟨((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)), ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P)))⟩] ~_R = [⟨(1_P +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ↔ (((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)) +_P 1_P) = (((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P))) +_P (1_P +_P 1_P))))
40		opreq1 4026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((z +_P w) = y → ((z +_P w) ·_P v) = (y ·_P v))
41	40	eqcomd 1527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((z +_P w) = y → (y ·_P v) = ((z +_P w) ·_P v))
42		opreq2 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((w ·_P v) = 1_P → ((z ·_P v) +_P (w ·_P v)) = ((z ·_P v) +_P 1_P))
43		visset 1860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ z ∈ V
44		visset 1860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ w ∈ V
45		visset 1860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ v ∈ V
46		visset 1860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ u ∈ V
47		visset 1860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ f ∈ V
48	46, 47	mulcompr 5190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (u ·_P f) = (f ·_P u)
49		visset 1860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ x ∈ V
50	47, 49	distrpr 5197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (u ·_P (f +_P x)) = ((u ·_P f) +_P (u ·_P x))
51	43, 44, 45, 48, 50	caoprdistrr 4125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((z +_P w) ·_P v) = ((z ·_P v) +_P (w ·_P v))
52	42, 51	syl5eq 1566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((w ·_P v) = 1_P → ((z +_P w) ·_P v) = ((z ·_P v) +_P 1_P))
53	41, 52	sylan9eqr 1576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((w ·_P v) = 1_P ⋀ (z +_P w) = y) → (y ·_P v) = ((z ·_P v) +_P 1_P))
54	53	opreq1d 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((w ·_P v) = 1_P ⋀ (z +_P w) = y) → ((y ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))) = (((z ·_P v) +_P 1_P) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))))
55		oprex 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (z ·_P v) ∈ V
56	11	elisseti 1865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1_P ∈ V
57		oprex 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P)) ∈ V
58	46, 47	addcompr 5188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (u +_P f) = (f +_P u)
59	47, 49	addasspr 5189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((u +_P f) +_P x) = (u +_P (f +_P x))
60	55, 56, 57, 58, 59	caopr32 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((z ·_P v) +_P 1_P) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))) = (((z ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))) +_P 1_P)
61	54, 60	syl6eq 1570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((w ·_P v) = 1_P ⋀ (z +_P w) = y) → ((y ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))) = (((z ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))) +_P 1_P))
62	61	opreq1d 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((w ·_P v) = 1_P ⋀ (z +_P w) = y) → (((y ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))) +_P 1_P) = ((((z ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))) +_P 1_P) +_P 1_P))
63	56, 56	addasspr 5189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((z ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))) +_P 1_P) +_P 1_P) = (((z ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))) +_P (1_P +_P 1_P))
64	62, 63	syl6eq 1570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((w ·_P v) = 1_P ⋀ (z +_P w) = y) → (((y ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))) +_P 1_P) = (((z ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))) +_P (1_P +_P 1_P)))
65	45, 56	distrpr 5197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y ·_P (v +_P 1_P)) = ((y ·_P v) +_P (y ·_P 1_P))
66	65	opreq1i 4029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)) = (((y ·_P v) +_P (y ·_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P))
67		oprex 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y ·_P 1_P) ∈ V
68		oprex 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (z ·_P 1_P) ∈ V
69	67, 68	addasspr 5189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((y ·_P v) +_P (y ·_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)) = ((y ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P)))
70	66, 69	eqtri 1542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)) = ((y ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P)))
71	70	opreq1i 4029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)) +_P 1_P) = (((y ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))) +_P 1_P)
72	45, 56	distrpr 5197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (z ·_P (v +_P 1_P)) = ((z ·_P v) +_P (z ·_P 1_P))
73	72	opreq2i 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P))) = ((y ·_P 1_P) +_P ((z ·_P v) +_P (z ·_P 1_P)))
74	67, 55, 68, 58, 59	caopr12 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((y ·_P 1_P) +_P ((z ·_P v) +_P (z ·_P 1_P))) = ((z ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P)))
75	73, 74	eqtri 1542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P))) = ((z ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P)))
76	75	opreq1i 4029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P))) +_P (1_P +_P 1_P)) = (((z ·_P v) +_P ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P 1_P))) +_P (1_P +_P 1_P))
77	64, 71, 76	3eqtr4g 1578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((w ·_P v) = 1_P ⋀ (z +_P w) = y) → (((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)) +_P 1_P) = (((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P))) +_P (1_P +_P 1_P)))
78	39, 77	syl5bir 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ v ∈ P) → (((w ·_P v) = 1_P ⋀ (z +_P w) = y) → [⟨((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)), ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P)))⟩] ~_R = [⟨(1_P +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))
79	78	imp 357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ v ∈ P) ⋀ ((w ·_P v) = 1_P ⋀ (z +_P w) = y)) → [⟨((y ·_P (v +_P 1_P)) +_P (z ·_P 1_P)), ((y ·_P 1_P) +_P (z ·_P (v +_P 1_P)))⟩] ~_R = [⟨(1_P +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R )
80	18, 79	eqtrd 1554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ v ∈ P) ⋀ ((w ·_P v) = 1_P ⋀ (z +_P w) = y)) → ([⟨y, z⟩] ~_R ·_R [⟨(v +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) = [⟨(1_P +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R )
81		df-1r 5237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1_R = [⟨(1_P +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R
82	80, 81	syl6eqr 1572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ v ∈ P) ⋀ ((w ·_P v) = 1_P ⋀ (z +_P w) = y)) → ([⟨y, z⟩] ~_R ·_R [⟨(v +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) = 1_R)
83		enrex 5243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ~_R ∈ V
84		ecexg 4323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ~_R ∈ V → [⟨(v +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ∈ V)
85	83, 84	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ [⟨(v +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ∈ V
86		opreq2 4027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = [⟨(v +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R → ([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = ([⟨y, z⟩] ~_R ·_R [⟨(v +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))
87	86	eqeq1d 1530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = [⟨(v +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R → (([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = 1_R ↔ ([⟨y, z⟩] ~_R ·_R [⟨(v +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) = 1_R))
88	85, 87	cla4ev 1916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (([⟨y, z⟩] ~_R ·_R [⟨(v +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) = 1_R → ∃x([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = 1_R)
89	82, 88	syl 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ v ∈ P) ⋀ ((w ·_P v) = 1_P ⋀ (z +_P w) = y)) → ∃x([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = 1_R)
90	89	exp43 393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ P ⋀ z ∈ P) → (v ∈ P → ((w ·_P v) = 1_P → ((z +_P w) = y → ∃x([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = 1_R))))
91	90	imp3a 368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ P ⋀ z ∈ P) → ((v ∈ P ⋀ (w ·_P v) = 1_P) → ((z +_P w) = y → ∃x([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = 1_R)))
92	91	19.23adv 1256	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ P ⋀ z ∈ P) → (∃v(v ∈ P ⋀ (w ·_P v) = 1_P) → ((z +_P w) = y → ∃x([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = 1_R)))
93		recexpr 5225	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ P → ∃v(v ∈ P ⋀ (w ·_P v) = 1_P))
94	92, 93	syl5 21	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ P ⋀ z ∈ P) → (w ∈ P → ((z +_P w) = y → ∃x([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = 1_R)))
95	94	imp3a 368	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ P ⋀ z ∈ P) → ((w ∈ P ⋀ (z +_P w) = y) → ∃x([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = 1_R))
96	95	19.23adv 1256	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ P ⋀ z ∈ P) → (∃w(w ∈ P ⋀ (z +_P w) = y) → ∃x([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = 1_R))
97		visset 1860	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
98	97, 43	gt0srpr 5252	. . . . . 6 ⊢ (0_R <_R [⟨y, z⟩] ~_R ↔ z<_P y)
99	97	ltexpri 5214	. . . . . 6 ⊢ (z<_P y → ∃w(w ∈ P ⋀ (z +_P w) = y))
100	98, 99	sylbi 206	. . . . 5 ⊢ (0_R <_R [⟨y, z⟩] ~_R → ∃w(w ∈ P ⋀ (z +_P w) = y))
101	96, 100	syl5 21	. . . 4 ⊢ ((y ∈ P ⋀ z ∈ P) → (0_R <_R [⟨y, z⟩] ~_R → ∃x([⟨y, z⟩] ~_R ·_R x) = 1_R))
102	5, 10, 101	ecoptocl 4364	. . 3 ⊢ (A ∈ R → (0_R <_R A → ∃x(A ·_R x) = 1_R))
103	4, 102	mpcom 49	. 2 ⊢ (0_R <_R A → ∃x(A ·_R x) = 1_R)
104		1r 5255	. . . . . . 7 ⊢ 1_R ∈ R
105		eleq1 1581	. . . . . . 7 ⊢ ((A ·_R x) = 1_R → ((A ·_R x) ∈ R ↔ 1_R ∈ R))
106	104, 105	mpbiri 201	. . . . . 6 ⊢ ((A ·_R x) = 1_R → (A ·_R x) ∈ R)
107		dmmulsr 5260	. . . . . . 7 ⊢ dom ·_R = (R × R)
108		0nsr 5253	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ ∈ R
109	49, 107, 108	ndmoprrcl 4104	. . . . . 6 ⊢ ((A ·_R x) ∈ R → (A ∈ R ⋀ x ∈ R))
110	106, 109	syl 10	. . . . 5 ⊢ ((A ·_R x) = 1_R → (A ∈ R ⋀ x ∈ R))
111	110	pm3.27d 332	. . . 4 ⊢ ((A ·_R x) = 1_R → x ∈ R)
112	111	ancri 304	. . 3 ⊢ ((A ·_R x) = 1_R → (x ∈ R ⋀ (A ·_R x) = 1_R))
113	112	19.22i 1081	. 2 ⊢ (∃x(A ·_R x) = 1_R → ∃x(x ∈ R ⋀ (A ·_R x) = 1_R))
114	103, 113	syl 10	1 ⊢ (0_R <_R A → ∃x(x ∈ R ⋀ (A ·_R x) = 1_R))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 3 ↔ wb 153 ⋀ wa 230 = wceq 997 ∈ wcel 999 ∃wex 1021 Vcvv 1858 ⟨cop 2463 class class class wbr 2674 (class class class)co 4021 [cec 4317 Pcnp 5050 1_Pc1p 5051 +_P cpp 5052 ·_P cmp 5053 <_P cltp 5054 ~_R cer 5057 Rcnr 5058 0_Rc0r 5059 1_Rc1r 5060 ·_R cmr 5063 <_R cltr 5064

This theorem is referenced by: recexsr 5281

This theorem was proved from axioms: ax-1 4 ax-2 5 ax-3 6 ax-mp 7 ax-7 1003 ax-gen 1004 ax-8 1005 ax-9 1006 ax-10 1007 ax-11 1008 ax-12 1009 ax-13 1010 ax-14 1011 ax-17 1012 ax-4 1014 ax-5o 1016 ax-6o 1019 ax-9o 1164 ax-10o 1182 ax-16 1252 ax-11o 1260 ax-ext 1504 ax-rep 2748 ax-sep 2758 ax-nul 2765 ax-pow 2798 ax-pr 2835 ax-un 2922 ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions: df-bi 154 df-or 231 df-an 232 df-3or 788 df-3an 789 df-ex 1022 df-sb 1214 df-eu 1424 df-mo 1425 df-clab 1510 df-cleq 1515 df-clel 1518 df-ne 1634 df-ral 1696 df-rex 1697 df-reu 1698 df-rab 1699 df-v 1859 df-sbc 1989 df-csb 2052 df-dif 2100 df-un 2101 df-in 2102 df-ss 2104 df-pss 2106 df-nul 2332 df-if 2414 df-pw 2454 df-sn 2464 df-pr 2465 df-tp 2467 df-op 2468 df-uni 2558 df-int 2588 df-iun 2622 df-br 2675 df-opab 2722 df-tr 2736 df-eprel 2888 df-id 2891 df-po 2896 df-so 2906 df-fr 2974 df-we 2991 df-ord 3008 df-on 3009 df-lim 3010 df-suc 3011 df-om 3189 df-xp 3241 df-rel 3242 df-cnv 3243 df-co 3244 df-dm 3245 df-rn 3246 df-res 3247 df-ima 3248 df-fun 3249 df-fn 3250 df-f 3251 df-fv 3255 df-rdg 3990 df-opr 4023 df-oprab 4024 df-1st 4137 df-2nd 4138 df-1o 4191 df-oadd 4193 df-omul 4194 df-er 4319 df-ec 4321 df-qs 4324 df-ni 5065 df-pli 5066 df-mi 5067 df-lti 5068 df-plpq 5100 df-mpq 5101 df-enq 5102 df-nq 5103 df-plq 5104 df-mq 5105 df-rq 5106 df-ltq 5107 df-1q 5108 df-np 5151 df-1p 5152 df-plp 5153 df-mp 5154 df-ltp 5155 df-mpr 5230 df-enr 5231 df-nr 5232 df-mr 5234 df-ltr 5235 df-0r 5236 df-1r 5237