Theorem recextlem2 5748

Description: Lemma for recex 5749.

Assertion

Ref	Expression
recextlem2	⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ (A + (i · B)) ≠ 0) → ((A · A) + (B · B)) ≠ 0)

Proof of Theorem recextlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0 5683	. 2 ⊢ ((((A · A) + (B · B)) ∈ ℝ ⋀ 0 < ((A · A) + (B · B))) → ((A · A) + (B · B)) ≠ 0)
2		readdcl 5367	. . . 4 ⊢ (((A · A) ∈ ℝ ⋀ (B · B) ∈ ℝ) → ((A · A) + (B · B)) ∈ ℝ)
3		remulcl 5369	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ A ∈ ℝ) → (A · A) ∈ ℝ)
4	3	anidms 444	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℝ → (A · A) ∈ ℝ)
5		remulcl 5369	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (B · B) ∈ ℝ)
6	5	anidms 444	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℝ → (B · B) ∈ ℝ)
7	2, 4, 6	syl2an 465	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → ((A · A) + (B · B)) ∈ ℝ)
8	7	3adant3 811	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ (A + (i · B)) ≠ 0) → ((A · A) + (B · B)) ∈ ℝ)
9		addgtge0 5714	. . . . . 6 ⊢ ((((A · A) ∈ ℝ ⋀ (B · B) ∈ ℝ) ⋀ (0 < (A · A) ⋀ 0 ≤ (B · B))) → 0 < ((A · A) + (B · B)))
10	4, 6	anim12i 340	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → ((A · A) ∈ ℝ ⋀ (B · B) ∈ ℝ))
11	10	adantr 398	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) ⋀ A ≠ 0) → ((A · A) ∈ ℝ ⋀ (B · B) ∈ ℝ))
12		msqgt0 5680	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ A ≠ 0) → 0 < (A · A))
13		msqge0 5681	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℝ → 0 ≤ (B · B))
14	12, 13	anim12i 340	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ A ≠ 0) ⋀ B ∈ ℝ) → (0 < (A · A) ⋀ 0 ≤ (B · B)))
15	14	an1rs 500	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) ⋀ A ≠ 0) → (0 < (A · A) ⋀ 0 ≤ (B · B)))
16	9, 11, 15	sylanc 482	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) ⋀ A ≠ 0) → 0 < ((A · A) + (B · B)))
17		addgegt0 5713	. . . . . 6 ⊢ ((((A · A) ∈ ℝ ⋀ (B · B) ∈ ℝ) ⋀ (0 ≤ (A · A) ⋀ 0 < (B · B))) → 0 < ((A · A) + (B · B)))
18	10	adantr 398	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) ⋀ B ≠ 0) → ((A · A) ∈ ℝ ⋀ (B · B) ∈ ℝ))
19		msqge0 5681	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → 0 ≤ (A · A))
20		msqgt0 5680	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℝ ⋀ B ≠ 0) → 0 < (B · B))
21	19, 20	anim12i 340	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (B ∈ ℝ ⋀ B ≠ 0)) → (0 ≤ (A · A) ⋀ 0 < (B · B)))
22	21	anassrs 452	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) ⋀ B ≠ 0) → (0 ≤ (A · A) ⋀ 0 < (B · B)))
23	17, 18, 22	sylanc 482	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) ⋀ B ≠ 0) → 0 < ((A · A) + (B · B)))
24	16, 23	jaodan 435	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) ⋀ (A ≠ 0 ⋁ B ≠ 0)) → 0 < ((A · A) + (B · B)))
25		opreq12 4028	. . . . . . . 8 ⊢ ((A = 0 ⋀ (i · B) = 0) → (A + (i · B)) = (0 + 0))
26		opreq2 4027	. . . . . . . . 9 ⊢ (B = 0 → (i · B) = (i · 0))
27		axicn 5335	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
28	27	mul01i 5496	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · 0) = 0
29	26, 28	syl6eq 1570	. . . . . . . 8 ⊢ (B = 0 → (i · B) = 0)
30	25, 29	sylan2 462	. . . . . . 7 ⊢ ((A = 0 ⋀ B = 0) → (A + (i · B)) = (0 + 0))
31		0cn 5393	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
32	31	addid1i 5395	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
33	30, 32	syl6eq 1570	. . . . . 6 ⊢ ((A = 0 ⋀ B = 0) → (A + (i · B)) = 0)
34	33	necon3ai 1653	. . . . 5 ⊢ ((A + (i · B)) ≠ 0 → ¬ (A = 0 ⋀ B = 0))
35		neorian 1687	. . . . 5 ⊢ ((A ≠ 0 ⋁ B ≠ 0) ↔ ¬ (A = 0 ⋀ B = 0))
36	34, 35	sylibr 207	. . . 4 ⊢ ((A + (i · B)) ≠ 0 → (A ≠ 0 ⋁ B ≠ 0))
37	24, 36	sylan2 462	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) ⋀ (A + (i · B)) ≠ 0) → 0 < ((A · A) + (B · B)))
38	37	3impa 840	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ (A + (i · B)) ≠ 0) → 0 < ((A · A) + (B · B)))
39	1, 8, 38	sylanc 482	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ (A + (i · B)) ≠ 0) → ((A · A) + (B · B)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋁ wo 229   ⋀ wa 230   ⋀ w3a 787   = wceq 997   ∈ wcel 999   ≠ wne 1632   class class class wbr 2674  (class class class)co 4021  ℝcr 5298  0cc0 5299  ici 5301   + caddc 5302   · cmul 5304   ≤ cle 5360   < clt 5551

This theorem is referenced by:  recex 5749

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556

Copyright terms: Public domain