Theorem recgt0i 5816

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21.

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ A ∈ ℝ
recgt0i.2	⊢ 0 < A

Assertion

Ref	Expression
recgt0i	⊢ 0 < (1 / A)

Proof of Theorem recgt0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5281	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ltplus1.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℝ
3	2	recn 5326	. . . . . 6 ⊢ A ∈ ℂ
4		ax1ne0 5292	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
5		recgt0i.2	. . . . . . 7 ⊢ 0 < A
6	2, 5	gt0ne0i 5629	. . . . . 6 ⊢ A ≠ 0
7	1, 3, 4, 6	divne0 5737	. . . . 5 ⊢ (1 / A) ≠ 0
8		necom 1639	. . . . 5 ⊢ ((1 / A) ≠ 0 ↔ 0 ≠ (1 / A))
9	7, 8	mpbi 189	. . . 4 ⊢ 0 ≠ (1 / A)
10		df-ne 1590	. . . 4 ⊢ (0 ≠ (1 / A) ↔ ¬ 0 = (1 / A))
11	9, 10	mpbi 189	. . 3 ⊢ ¬ 0 = (1 / A)
12		lt01 5692	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
13		0re 5452	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		1re 5447	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
15	13, 14	ltnsym 5589	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
16	12, 15	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
17	2, 6	rereccl 5803	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / A) ∈ ℝ
18	17	renegcl 5428	. . . . . . . 8 ⊢ -(1 / A) ∈ ℝ
19	18, 2	mulgt0 5618	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < -(1 / A) ⋀ 0 < A) → 0 < (-(1 / A) · A))
20	5, 19	mpan2 698	. . . . . 6 ⊢ (0 < -(1 / A) → 0 < (-(1 / A) · A))
21	17	recn 5326	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / A) ∈ ℂ
22	21, 3	mulneg1 5457	. . . . . . 7 ⊢ (-(1 / A) · A) = -((1 / A) · A)
23	21, 3	mulcom 5335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / A) · A) = (A · (1 / A))
24	3, 6	recid 5740	. . . . . . . . 9 ⊢ (A · (1 / A)) = 1
25	23, 24	eqtr 1498	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / A) · A) = 1
26	25	negeqi 5372	. . . . . . 7 ⊢ -((1 / A) · A) = -1
27	22, 26	eqtr 1498	. . . . . 6 ⊢ (-(1 / A) · A) = -1
28	20, 27	syl6breq 2659	. . . . 5 ⊢ (0 < -(1 / A) → 0 < -1)
29		lt0neg1t 5680	. . . . . 6 ⊢ ((1 / A) ∈ ℝ → ((1 / A) < 0 ↔ 0 < -(1 / A)))
30	17, 29	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ ((1 / A) < 0 ↔ 0 < -(1 / A))
31		lt0neg1t 5680	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
32	14, 31	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
33	28, 30, 32	3imtr4 219	. . . 4 ⊢ ((1 / A) < 0 → 1 < 0)
34	16, 33	mto 106	. . 3 ⊢ ¬ (1 / A) < 0
35	11, 34	pm3.2ni 582	. 2 ⊢ ¬ (0 = (1 / A) ⋁ (1 / A) < 0)
36		axlttri 5515	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ (1 / A) ∈ ℝ) → (0 < (1 / A) ↔ ¬ (0 = (1 / A) ⋁ (1 / A) < 0)))
37	13, 17, 36	mp2an 699	. 2 ⊢ (0 < (1 / A) ↔ ¬ (0 = (1 / A) ⋁ (1 / A) < 0))
38	35, 37	mpbir 190	1 ⊢ 0 < (1 / A)

Syntax hints:  ¬ wn 2   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   · cmul 5251  -cneg 5305   / cdiv 5306   < clt 5498

This theorem is referenced by:  prodgt0lem 5820  ltdiv1i 5825  halfgt0 6031  expcnvlem2 7228  0.999... 7246  sin01bndlem2 7469  cos01bndlem2 7471  sincos2sgn 7481  projlem7 9187

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715

Copyright terms: Public domain