Theorem reclem1pr 5221

Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}

Assertion

Ref	Expression
reclem1pr	⊢ (A ∈ P → ∅ ⊂ B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B

Proof of Theorem reclem1pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 5159	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ P → A ⊂ Q)
2		pssnel 2383	. . . . . 6 ⊢ (A ⊂ Q → ∃x(x ∈ Q ⋀ ¬ x ∈ A))
3		recclpq 5137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ Q → (*Q ‘x) ∈ Q)
4		dmrecpq 5139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom *Q = Q
5		0npq 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
6	4, 5	ndmfvrcl 3803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((*Q ‘x) ∈ Q → x ∈ Q)
7	3, 6	impbii 164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ Q ↔ (*Q ‘x) ∈ Q)
8	7	anbi1i 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A) ↔ ((*Q ‘x) ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A))
9		visset 1860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ x ∈ V
10	9	recrecpq 5138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ Q → (*Q ‘(*Q ‘x)) = x)
11	10	eleq1d 1587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ Q → ((*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A ↔ x ∈ A))
12	11	notbid 622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ Q → (¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A ↔ ¬ x ∈ A))
13	12	pm5.32i 656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A) ↔ (x ∈ Q ⋀ ¬ x ∈ A))
14	8, 13	bitr3i 182	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q ‘x) ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A) ↔ (x ∈ Q ⋀ ¬ x ∈ A))
15		fvex 3789	. . . . . . . . 9 ⊢ (*Q ‘x) ∈ V
16		eleq1 1581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = (*Q ‘x) → (y ∈ Q ↔ (*Q ‘x) ∈ Q))
17		fveq2 3781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = (*Q ‘x) → (*Q ‘y) = (*Q ‘(*Q ‘x)))
18	17	eleq1d 1587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = (*Q ‘x) → ((*Q ‘y) ∈ A ↔ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A))
19	18	notbid 622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = (*Q ‘x) → (¬ (*Q ‘y) ∈ A ↔ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A))
20	16, 19	anbi12d 639	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = (*Q ‘x) → ((y ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ((*Q ‘x) ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A)))
21	15, 20	cla4ev 1916	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q ‘x) ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A) → ∃y(y ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
22	14, 21	sylbir 208	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ Q ⋀ ¬ x ∈ A) → ∃y(y ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
23	22	19.23aiv 1337	. . . . . 6 ⊢ (∃x(x ∈ Q ⋀ ¬ x ∈ A) → ∃y(y ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
24	1, 2, 23	3syl 20	. . . . 5 ⊢ (A ∈ P → ∃y(y ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
25		nsmallpq 5148	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ Q → ∃x x <Q y)
26	25	anim1i 341	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → (∃x x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
27		19.41v 1347	. . . . . . 7 ⊢ (∃x(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ (∃x x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
28	26, 27	sylibr 207	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → ∃x(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
29	28	19.22i 1081	. . . . 5 ⊢ (∃y(y ∈ Q ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → ∃y∃x(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
30	24, 29	syl 10	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → ∃y∃x(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
31		excom 1087	. . . 4 ⊢ (∃x∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ∃y∃x(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
32	30, 31	sylibr 207	. . 3 ⊢ (A ∈ P → ∃x∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
33		reclempr.1	. . . . 5 ⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}
34	33	abeq2i 1617	. . . 4 ⊢ (x ∈ B ↔ ∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
35	34	exbii 1092	. . 3 ⊢ (∃x x ∈ B ↔ ∃x∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
36	32, 35	sylibr 207	. 2 ⊢ (A ∈ P → ∃x x ∈ B)
37		0pss 2360	. . 3 ⊢ (∅ ⊂ B ↔ B ≠ ∅)
38		ne0 2340	. . 3 ⊢ (B ≠ ∅ ↔ ∃x x ∈ B)
39	37, 38	bitri 180	. 2 ⊢ (∅ ⊂ B ↔ ∃x x ∈ B)
40	36, 39	sylibr 207	1 ⊢ (A ∈ P → ∅ ⊂ B)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 230   = wceq 997   ∈ wcel 999  ∃wex 1021  {cab 1509   ≠ wne 1632   ⊂ wpss 2099  ∅c0 2331   class class class wbr 2674   ‘cfv 3239  Qcnq 5044  *_Qcrq 5048   <_Q cltq 5049  Pcnp 5050

This theorem is referenced by:  reclem2pr 5222

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151

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