Theorem reclem2pr 5222

Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}

Assertion

Ref	Expression
reclem2pr	⊢ (A ∈ P → B ∈ P)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B

Proof of Theorem reclem2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . 5 ⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}
2	1	reclem1pr 5221	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → ∅ ⊂ B)
3		prn0 5158	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ P → A ≠ ∅)
4		elprpq 5160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → z ∈ Q)
5		visset 1860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ z ∈ V
6	5	recrecpq 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z ∈ Q → (*Q ‘(*Q ‘z)) = z)
7	6	eleq1d 1587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z ∈ Q → ((*Q ‘(*Q ‘z)) ∈ A ↔ z ∈ A))
8	7	anbi2d 627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ Q → ((A ∈ P ⋀ (*Q ‘(*Q ‘z)) ∈ A) ↔ (A ∈ P ⋀ z ∈ A)))
9	4, 8	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → ((A ∈ P ⋀ (*Q ‘(*Q ‘z)) ∈ A) ↔ (A ∈ P ⋀ z ∈ A)))
10		fvex 3789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (*Q ‘z) ∈ V
11		fveq2 3781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x = (*Q ‘z) → (*Q ‘x) = (*Q ‘(*Q ‘z)))
12	11	eleq1d 1587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = (*Q ‘z) → ((*Q ‘x) ∈ A ↔ (*Q ‘(*Q ‘z)) ∈ A))
13	12	anbi2d 627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = (*Q ‘z) → ((A ∈ P ⋀ (*Q ‘x) ∈ A) ↔ (A ∈ P ⋀ (*Q ‘(*Q ‘z)) ∈ A)))
14	10, 13	cla4ev 1916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ⋀ (*Q ‘(*Q ‘z)) ∈ A) → ∃x(A ∈ P ⋀ (*Q ‘x) ∈ A))
15	9, 14	syl6bir 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → ∃x(A ∈ P ⋀ (*Q ‘x) ∈ A)))
16	15	pm2.43i 64	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → ∃x(A ∈ P ⋀ (*Q ‘x) ∈ A))
17		elprpq 5160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ P ⋀ (*Q ‘x) ∈ A) → (*Q ‘x) ∈ Q)
18		dmrecpq 5139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom *Q = Q
19		0npq 5115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
20	18, 19	ndmfvrcl 3803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((*Q ‘x) ∈ Q → x ∈ Q)
21	17, 20	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ⋀ (*Q ‘x) ∈ A) → x ∈ Q)
22		prcdpq 5162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ P ⋀ (*Q ‘x) ∈ A) → ((*Q ‘y) <Q (*Q ‘x) → (*Q ‘y) ∈ A))
23		visset 1860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ x ∈ V
24		visset 1860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ y ∈ V
25	23, 24	ltrpq 5150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x <Q y → (*Q ‘y) <Q (*Q ‘x))
26	22, 25	syl5 21	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ P ⋀ (*Q ‘x) ∈ A) → (x <Q y → (*Q ‘y) ∈ A))
27	26	19.21aiv 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ P ⋀ (*Q ‘x) ∈ A) → ∀y(x <Q y → (*Q ‘y) ∈ A))
28	1	abeq2i 1617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ∈ B ↔ ∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
29		exanali 1084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ¬ ∀y(x <Q y → (*Q ‘y) ∈ A))
30	28, 29	bitri 180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ B ↔ ¬ ∀y(x <Q y → (*Q ‘y) ∈ A))
31	30	con2bii 228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y(x <Q y → (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ¬ x ∈ B)
32	27, 31	sylib 205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ⋀ (*Q ‘x) ∈ A) → ¬ x ∈ B)
33	21, 32	jca 295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ P ⋀ (*Q ‘x) ∈ A) → (x ∈ Q ⋀ ¬ x ∈ B))
34	33	19.22i 1081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃x(A ∈ P ⋀ (*Q ‘x) ∈ A) → ∃x(x ∈ Q ⋀ ¬ x ∈ B))
35	16, 34	syl 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → ∃x(x ∈ Q ⋀ ¬ x ∈ B))
36	35	ex 380	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ P → (z ∈ A → ∃x(x ∈ Q ⋀ ¬ x ∈ B)))
37	36	19.23adv 1256	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ P → (∃z z ∈ A → ∃x(x ∈ Q ⋀ ¬ x ∈ B)))
38		ne0 2340	. . . . . . . 8 ⊢ (A ≠ ∅ ↔ ∃z z ∈ A)
39		nss 2164	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ Q ⊆ B ↔ ∃x(x ∈ Q ⋀ ¬ x ∈ B))
40	37, 38, 39	3imtr4g 564	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ P → (A ≠ ∅ → ¬ Q ⊆ B))
41	3, 40	mpd 26	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ P → ¬ Q ⊆ B)
42		ltrelpq 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
43	24, 42	brel 3280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x <Q y → (x ∈ Q ⋀ y ∈ Q))
44	43	pm3.26d 328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x <Q y → x ∈ Q)
45	44	adantr 398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → x ∈ Q)
46	45	19.23aiv 1337	. . . . . . . 8 ⊢ (∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → x ∈ Q)
47	28, 46	sylbi 206	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ B → x ∈ Q)
48	47	ssriv 2120	. . . . . 6 ⊢ B ⊆ Q
49	41, 48	jctil 299	. . . . 5 ⊢ (A ∈ P → (B ⊆ Q ⋀ ¬ Q ⊆ B))
50		dfpss3 2185	. . . . 5 ⊢ (B ⊂ Q ↔ (B ⊆ Q ⋀ ¬ Q ⊆ B))
51	49, 50	sylibr 207	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → B ⊂ Q)
52	2, 51	jca 295	. . 3 ⊢ (A ∈ P → (∅ ⊂ B ⋀ B ⊂ Q))
53		ltsopq 5140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q Or Q
54	5, 53, 42, 23, 24	sotri 3500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z <Q x ⋀ x <Q y) → z <Q y)
55	54	ex 380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z <Q x → (x <Q y → z <Q y))
56	55	anim1d 571	. . . . . . . . 9 ⊢ (z <Q x → ((x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → (z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
57	56	19.22dv 1332	. . . . . . . 8 ⊢ (z <Q x → (∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → ∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
58		breq1 2677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = z → (x <Q y ↔ z <Q y))
59	58	anbi1d 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = z → ((x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ (z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
60	59	exbidv 1321	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = z → (∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
61	5, 60, 1	elab2 1948	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ B ↔ ∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
62	57, 28, 61	3imtr4g 564	. . . . . . 7 ⊢ (z <Q x → (x ∈ B → z ∈ B))
63	62	com12 11	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ B → (z <Q x → z ∈ B))
64	63	19.21aiv 1328	. . . . 5 ⊢ (x ∈ B → ∀z(z <Q x → z ∈ B))
65	23, 24	ltbtwnpq 5149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x <Q y → ∃z(x <Q z ⋀ z <Q y))
66	65	anim1i 341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → (∃z(x <Q z ⋀ z <Q y) ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
67		19.41v 1347	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃z((x <Q z ⋀ z <Q y) ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ (∃z(x <Q z ⋀ z <Q y) ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
68	66, 67	sylibr 207	. . . . . . . 8 ⊢ ((x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → ∃z((x <Q z ⋀ z <Q y) ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
69	68	19.22i 1081	. . . . . . 7 ⊢ (∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → ∃y∃z((x <Q z ⋀ z <Q y) ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
70		19.41v 1347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃y((z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ⋀ x <Q z) ↔ (∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ⋀ x <Q z))
71		anass 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x <Q z ⋀ z <Q y) ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ (x <Q z ⋀ (z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
72		ancom 446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x <Q z ⋀ (z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)) ↔ ((z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ⋀ x <Q z))
73	71, 72	bitri 180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x <Q z ⋀ z <Q y) ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ((z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ⋀ x <Q z))
74	73	exbii 1092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃y((x <Q z ⋀ z <Q y) ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ∃y((z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ⋀ x <Q z))
75	61	anbi1i 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ∈ B ⋀ x <Q z) ↔ (∃y(z <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ⋀ x <Q z))
76	70, 74, 75	3bitr4i 190	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃y((x <Q z ⋀ z <Q y) ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ (z ∈ B ⋀ x <Q z))
77	76	exbii 1092	. . . . . . . 8 ⊢ (∃z∃y((x <Q z ⋀ z <Q y) ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ∃z(z ∈ B ⋀ x <Q z))
78		excom 1087	. . . . . . . 8 ⊢ (∃z∃y((x <Q z ⋀ z <Q y) ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ∃y∃z((x <Q z ⋀ z <Q y) ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
79	77, 78	bitr3i 182	. . . . . . 7 ⊢ (∃z(z ∈ B ⋀ x <Q z) ↔ ∃y∃z((x <Q z ⋀ z <Q y) ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
80	69, 28, 79	3imtr4i 226	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ B → ∃z(z ∈ B ⋀ x <Q z))
81		df-rex 1697	. . . . . 6 ⊢ (∃z ∈ B x <Q z ↔ ∃z(z ∈ B ⋀ x <Q z))
82	80, 81	sylibr 207	. . . . 5 ⊢ (x ∈ B → ∃z ∈ B x <Q z)
83	64, 82	jca 295	. . . 4 ⊢ (x ∈ B → (∀z(z <Q x → z ∈ B) ⋀ ∃z ∈ B x <Q z))
84	83	rgen 1745	. . 3 ⊢ ∀x ∈ B (∀z(z <Q x → z ∈ B) ⋀ ∃z ∈ B x <Q z)
85	52, 84	jctir 300	. 2 ⊢ (A ∈ P → ((∅ ⊂ B ⋀ B ⊂ Q) ⋀ ∀x ∈ B (∀z(z <Q x → z ∈ B) ⋀ ∃z ∈ B x <Q z)))
86		elnp 5157	. 2 ⊢ (B ∈ P ↔ ((∅ ⊂ B ⋀ B ⊂ Q) ⋀ ∀x ∈ B (∀z(z <Q x → z ∈ B) ⋀ ∃z ∈ B x <Q z)))
87	85, 86	sylibr 207	1 ⊢ (A ∈ P → B ∈ P)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 153   ⋀ wa 230  ∀wal 995   = wceq 997   ∈ wcel 999  ∃wex 1021  {cab 1509   ≠ wne 1632  ∀wral 1692  ∃wrex 1693   ⊆ wss 2098   ⊂ wpss 2099  ∅c0 2331   class class class wbr 2674   ‘cfv 3239  Qcnq 5044  *_Qcrq 5048   <_Q cltq 5049  Pcnp 5050

This theorem is referenced by:  reclem3pr 5223  reclem4pr 5224  recexpr 5225

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151

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