Theorem reclem4pr 5171

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}

Assertion

Ref	Expression
reclem4pr	⊢ (A ∈ P → (A ·P B) = 1P)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B

Proof of Theorem reclem4pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . . . 7 ⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}
2	1	reclem2pr 5169	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ P → B ∈ P)
3		df-mp 5101	. . . . . . 7 ⊢ ·P = {⟨⟨y, w⟩, v⟩∣((y ∈ P ⋀ w ∈ P) ⋀ v = {u∣∃f ∈ y ∃g ∈ w u = (f ·Q g)})}
4		visset 1816	. . . . . . 7 ⊢ w ∈ V
5	3, 4	genpelv 5115	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ P ⋀ B ∈ P) → (w ∈ (A ·P B) ↔ ∃z∃x((z ∈ A ⋀ x ∈ B) ⋀ w = (z ·Q x))))
6	2, 5	mpdan 706	. . . . 5 ⊢ (A ∈ P → (w ∈ (A ·P B) ↔ ∃z∃x((z ∈ A ⋀ x ∈ B) ⋀ w = (z ·Q x))))
7		elprpq 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → z ∈ Q)
8		visset 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ x ∈ V
9		visset 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ y ∈ V
10	8, 9	ltmpq 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (z ∈ Q → (x <Q y ↔ (z ·Q x) <Q (z ·Q y)))
11	7, 10	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → (x <Q y ↔ (z ·Q x) <Q (z ·Q y)))
12	11	biimpd 153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → (x <Q y → (z ·Q x) <Q (z ·Q y)))
13	12	adantr 391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((A ∈ P ⋀ z ∈ A) ⋀ y ∈ Q) → (x <Q y → (z ·Q x) <Q (z ·Q y)))
14		prub 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((A ∈ P ⋀ z ∈ A) ⋀ (*Q ‘y) ∈ Q) → (¬ (*Q ‘y) ∈ A → z <Q (*Q ‘y)))
15		recclpq 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y ∈ Q → (*Q ‘y) ∈ Q)
16	14, 15	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((A ∈ P ⋀ z ∈ A) ⋀ y ∈ Q) → (¬ (*Q ‘y) ∈ A → z <Q (*Q ‘y)))
17		visset 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ z ∈ V
18		fvex 3738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (*Q ‘y) ∈ V
19	17, 18	ltmpq 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y ∈ Q → (z <Q (*Q ‘y) ↔ (y ·Q z) <Q (y ·Q (*Q ‘y))))
20	9, 17	mulcompq 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (y ·Q z) = (z ·Q y)
21	20	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (y ∈ Q → (y ·Q z) = (z ·Q y))
22		recidpq 5083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (y ∈ Q → (y ·Q (*Q ‘y)) = 1Q)
23	21, 22	breq12d 2636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y ∈ Q → ((y ·Q z) <Q (y ·Q (*Q ‘y)) ↔ (z ·Q y) <Q 1Q))
24	19, 23	bitrd 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y ∈ Q → (z <Q (*Q ‘y) ↔ (z ·Q y) <Q 1Q))
25	24	adantl 390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((A ∈ P ⋀ z ∈ A) ⋀ y ∈ Q) → (z <Q (*Q ‘y) ↔ (z ·Q y) <Q 1Q))
26	16, 25	sylibd 202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((A ∈ P ⋀ z ∈ A) ⋀ y ∈ Q) → (¬ (*Q ‘y) ∈ A → (z ·Q y) <Q 1Q))
27	13, 26	anim12d 560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((A ∈ P ⋀ z ∈ A) ⋀ y ∈ Q) → ((x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → ((z ·Q x) <Q (z ·Q y) ⋀ (z ·Q y) <Q 1Q)))
28		oprex 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ·Q x) ∈ V
29		ltsopq 5087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ <Q Or Q
30		ltrelpq 5063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
31		oprex 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ·Q y) ∈ V
32		1q 5069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1Q ∈ Q
33	32	elisseti 1821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1Q ∈ V
34	28, 29, 30, 31, 33	sotri 3449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((z ·Q x) <Q (z ·Q y) ⋀ (z ·Q y) <Q 1Q) → (z ·Q x) <Q 1Q)
35	27, 34	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((A ∈ P ⋀ z ∈ A) ⋀ y ∈ Q) → ((x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → (z ·Q x) <Q 1Q))
36	35	exp4b 381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → (y ∈ Q → (x <Q y → (¬ (*Q ‘y) ∈ A → (z ·Q x) <Q 1Q))))
37	9, 30	brel 3229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x <Q y → (x ∈ Q ⋀ y ∈ Q))
38	37	pm3.27d 325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x <Q y → y ∈ Q)
39	36, 38	syl5 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → (x <Q y → (x <Q y → (¬ (*Q ‘y) ∈ A → (z ·Q x) <Q 1Q))))
40	39	pm2.43d 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → (x <Q y → (¬ (*Q ‘y) ∈ A → (z ·Q x) <Q 1Q)))
41	40	imp3a 361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → ((x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → (z ·Q x) <Q 1Q))
42	41	19.23adv 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → (∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → (z ·Q x) <Q 1Q))
43	1	abeq2i 1573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ B ↔ ∃y(x <Q y ⋀ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
44	42, 43	syl5ib 206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → (x ∈ B → (z ·Q x) <Q 1Q))
45		breq1 2627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = (z ·Q x) → (w <Q 1Q ↔ (z ·Q x) <Q 1Q))
46	45	biimprcd 156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ·Q x) <Q 1Q → (w = (z ·Q x) → w <Q 1Q))
47	44, 46	syl6 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ P ⋀ z ∈ A) → (x ∈ B → (w = (z ·Q x) → w <Q 1Q)))
48	47	ex 373	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ P → (z ∈ A → (x ∈ B → (w = (z ·Q x) → w <Q 1Q))))
49	48	imp4c 366	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ P → (((z ∈ A ⋀ x ∈ B) ⋀ w = (z ·Q x)) → w <Q 1Q))
50	49	19.23advv 1299	. . . . 5 ⊢ (A ∈ P → (∃z∃x((z ∈ A ⋀ x ∈ B) ⋀ w = (z ·Q x)) → w <Q 1Q))
51	6, 50	sylbid 203	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → (w ∈ (A ·P B) → w <Q 1Q))
52		df-1p 5099	. . . . 5 ⊢ 1P = {w∣w <Q 1Q}
53	52	abeq2i 1573	. . . 4 ⊢ (w ∈ 1P ↔ w <Q 1Q)
54	51, 53	syl6ibr 213	. . 3 ⊢ (A ∈ P → (w ∈ (A ·P B) → w ∈ 1P))
55	54	ssrdv 2073	. 2 ⊢ (A ∈ P → (A ·P B) ⊆ 1P)
56	1	reclem3pr 5170	. 2 ⊢ (A ∈ P → 1P ⊆ (A ·P B))
57	55, 56	eqssd 2082	1 ⊢ (A ∈ P → (A ·P B) = 1P)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  {cab 1466   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  Qcnq 4991  1_Qc1q 4992   ·_Q cmq 4994  *_Qcrq 4995   <_Q cltq 4996  Pcnp 4997  1_Pc1p 4998   ·_P cmp 5000

This theorem is referenced by:  recexpr 5172

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-mp 5101

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