Theorem recmulpq 5082

Description: Relationship between reciprocal and multiplication on positive fractions.

Hypothesis

Ref	Expression
recmulpq.1	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
recmulpq	⊢ (A ∈ Q → ((*Q ‘A) = B ↔ (A ·Q B) = 1Q))

Proof of Theorem recmulpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recmulpq.1	. 2 ⊢ B ∈ V
2		opreq1 3974	. . 3 ⊢ (x = A → (x ·Q y) = (A ·Q y))
3	2	eqeq1d 1486	. 2 ⊢ (x = A → ((x ·Q y) = 1Q ↔ (A ·Q y) = 1Q))
4		opreq2 3975	. . 3 ⊢ (y = B → (A ·Q y) = (A ·Q B))
5	4	eqeq1d 1486	. 2 ⊢ (y = B → ((A ·Q y) = 1Q ↔ (A ·Q B) = 1Q))
6		df-nq 5050	. . . 4 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
7		opreq1 3974	. . . . . 6 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = x → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = (x ·Q y))
8	7	eqeq1d 1486	. . . . 5 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = x → (([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = 1Q ↔ (x ·Q y) = 1Q))
9	8	exbidv 1281	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = x → (∃y([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = 1Q ↔ ∃y(x ·Q y) = 1Q))
10		mulpipq 5067	. . . . . . . 8 ⊢ (((z ∈ N ⋀ w ∈ N) ⋀ (w ∈ N ⋀ z ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ) = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q )
11	10	an42s 511	. . . . . . 7 ⊢ (((z ∈ N ⋀ w ∈ N) ⋀ (z ∈ N ⋀ w ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ) = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q )
12	11	anidms 436	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ N ⋀ w ∈ N) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ) = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q )
13		mulclpi 5033	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ N ⋀ w ∈ N) → (z ·N w) ∈ N)
14		oprex 3989	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ·N w) ∈ V
15	14	1qec 5080	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ·N w) ∈ N → 1Q = [⟨(z ·N w), (z ·N w)⟩] ~Q )
16		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ z ∈ V
17		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ w ∈ V
18	16, 17	mulcompi 5036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ·N w) = (w ·N z)
19	18	opeq2i 2495	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(z ·N w), (z ·N w)⟩ = ⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩
20		eceq2 4284	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨(z ·N w), (z ·N w)⟩ = ⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩ → [⟨(z ·N w), (z ·N w)⟩] ~Q = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q )
21	19, 20	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ [⟨(z ·N w), (z ·N w)⟩] ~Q = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q
22	15, 21	syl6eq 1526	. . . . . . 7 ⊢ ((z ·N w) ∈ N → 1Q = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q )
23	13, 22	syl 10	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ N ⋀ w ∈ N) → 1Q = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q )
24	12, 23	eqtr4d 1513	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ N ⋀ w ∈ N) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ) = 1Q)
25		enqex 5060	. . . . . . 7 ⊢ ~Q ∈ V
26		ecexg 4271	. . . . . . 7 ⊢ ( ~Q ∈ V → [⟨w, z⟩] ~Q ∈ V)
27	25, 26	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ [⟨w, z⟩] ~Q ∈ V
28		opreq2 3975	. . . . . . 7 ⊢ (y = [⟨w, z⟩] ~Q → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ))
29	28	eqeq1d 1486	. . . . . 6 ⊢ (y = [⟨w, z⟩] ~Q → (([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = 1Q ↔ ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ) = 1Q))
30	27, 29	cla4ev 1872	. . . . 5 ⊢ (([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ) = 1Q → ∃y([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = 1Q)
31	24, 30	syl 10	. . . 4 ⊢ ((z ∈ N ⋀ w ∈ N) → ∃y([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = 1Q)
32	6, 9, 31	ecoptocl 4309	. . 3 ⊢ (x ∈ Q → ∃y(x ·Q y) = 1Q)
33		eu5 1411	. . . 4 ⊢ (∃!y(x ·Q y) = 1Q ↔ (∃y(x ·Q y) = 1Q ⋀ ∃*y(x ·Q y) = 1Q))
34		visset 1816	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
35		1q 5069	. . . . 5 ⊢ 1Q ∈ Q
36		dmmulpq 5073	. . . . 5 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
37		0npq 5062	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
38	16, 17	mulcompq 5076	. . . . 5 ⊢ (z ·Q w) = (w ·Q z)
39		visset 1816	. . . . . 6 ⊢ v ∈ V
40	17, 39	mulasspq 5077	. . . . 5 ⊢ ((z ·Q w) ·Q v) = (z ·Q (w ·Q v))
41		mulidpq 5081	. . . . 5 ⊢ (z ∈ Q → (z ·Q 1Q) = z)
42	34, 35, 36, 37, 38, 40, 41	caoprmo 4076	. . . 4 ⊢ ∃*y(x ·Q y) = 1Q
43	33, 42	mpbiran2 731	. . 3 ⊢ (∃!y(x ·Q y) = 1Q ↔ ∃y(x ·Q y) = 1Q)
44	32, 43	sylibr 200	. 2 ⊢ (x ∈ Q → ∃!y(x ·Q y) = 1Q)
45		df-rq 5053	. 2 ⊢ *Q = {⟨x, y⟩∣(x ∈ Q ⋀ (x ·Q y) = 1Q)}
46	1, 3, 5, 44, 45	fvopab3 3783	1 ⊢ (A ∈ Q → ((*Q ‘A) = B ↔ (A ·Q B) = 1Q))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  ∃!weu 1382  ∃*wmo 1383  Vcvv 1814  ⟨cop 2415   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  [cec 4265  Ncnpi 4984   ·_N cmi 4986   ~_Q ceq 4990  Qcnq 4991  1_Qc1q 4992   ·_Q cmq 4994  *_Qcrq 4995

This theorem is referenced by:  recidpq 5083  recrecpq 5085  reclem3pr 5170

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-mi 5014  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-mq 5052  df-rq 5053  df-1q 5055

Copyright terms: Public domain