Theorem recnd 5327

Description: Deduction from real number to complex number.

Hypothesis

Ref	Expression
recnd.1	⊢ (φ → A ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
recnd	⊢ (φ → A ∈ ℂ)

Proof of Theorem recnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnd.1	. 2 ⊢ (φ → A ∈ ℝ)
2		recnt 5325	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 10	1 ⊢ (φ → A ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 3   ∈ wcel 960  ℂcc 5244  ℝcr 5245

This theorem is referenced by:  recp1lt1 5903  recrecltt 5904  ledivp1t 5907  zcnt 6142  zeot 6201  fladdzt 6246  ceim1lt 6251  intfracq 6255  fldivt 6256  icoshftf1oi 6410  expordit 6601  exple1t 6608  expubndt 6609  bernneq2 6654  discrlem3 6659  sqsqr 6722  cjclt 6765  imret 6774  reim0t 6775  reim0bt 6776  rerebt 6777  resubt 6806  imsubt 6809  recjt 6818  imcjt 6819  cj11t 6830  absexpt 6868  abs2difabst 6903  caure 6927  cauim 6928  ser1absdiflem 6929  facdivt 6942  faclbnd 6945  faclbnd5 6953  fsumcmpndx2 7042  fsumabs 7043  climrecl 7110  climge0 7112  climabs0 7113  climmullem3 7122  climmullem4 7123  climsqueeze 7140  climsqueeze2 7141  climabs 7149  climre 7151  climim 7152  caucvg 7163  caucvg3a 7164  caucvg3lem 7166  ser1cmp2 7177  cvgcmp2lem 7180  cvgcmp3c 7186  cvgcmp3cetlem1 7188  reccnv 7218  infcvglem2 7222  cvgratlem1 7250  cvgratlem2 7251  ivthlem6 7286  ivthlem7 7287  dsupivthlem 7291  erelem3 7321  efcj 7336  ef1tllem 7381  abspef01tlub 7395  resin4pt 7436  recos4pt 7437  efeult 7449  sin01bndlem2 7469  sin01bndlem3 7470  cos01bndlem2 7471  cos01bndlem3 7472  sin01gt0 7477  cos01gt0 7478  sin02gt0 7479  absefit 7483  metsym 7813  metge0 7816  lmle 7957  bcthlem1 7996  bcthlem25 8020  nvm1 8288  nvpi 8290  nvz0 8292  nvmtri 8295  nvabs 8297  nvge0 8298  nv1 8300  nmcnilem 8333  sm1cnilem 8343  ipval2lem4 8352  ipval2 8353  4ipval2 8354  4ipval3 8358  ipid 8359  ipcj 8363  ip0r 8366  ipz 8368  ip1cnilem3 8371  ip1cnilem5 8373  ip1cnilem6 8374  nmoub3i 8432  nmlno0lem 8449  nmblolbii 8455  blocnilem 8460  cnph 8474  ipasslem4 8489  ipasslem5 8490  ipblnfi 8512  ubthlem7 8531  ubthlem8 8532  ubthlem9 8533  ubthlem10 8534  ubthlem12 8536  minveclem9 8549  minveclem18 8558  minveclem25 8565  minveclem27 8567  minveclem30 8570  minveclem36 8576  minveclem38 8578  htthlem6 8621  pilem3 8668  sincosq2sgn 8700  sincosq3sgn 8701  sincosq4sgn 8702  sinq12gt0t 8703  sineq0 8708  efif1lem4 8728  shftefif1olem 8736  eff1lem 8738  eff1i 8739  effoi 8740  reeflogt 8756  relogeftb 8760  reexplogt 8768  relogexpt 8769  normpyct 9008  hhph 9040  bcs2t 9044  norm1t 9116  norm1ex 9117  projlem25 9205  projlem26 9206  pjthlem4 9217  pjthlem6 9219  pjthlem8 9221  pjthlem11 9224  pjspansnt 9495  osumlem3 9575  eigvalclt 9880  eighmortht 9883  nmlnop0ALT 9915  nmbdoplb 9944  nmcopexlem3 9948  nmcopexlem5 9950  nmcopexlem6 9951  nmcoplb 9953  lnopcon 9958  nmbdfnlb 9973  nmcfnexlem3 9977  nmcfnexlem5 9979  nmcfnexlem6 9980  nmcfnlb 9982  lnfncon 9985  riesz4 9991  cnlnadjlem2 9996  cnlnadjlem7 10001  nmopco 10023  nmopcoadj 10029  branmfnt 10033  leopnmidt 10066  hmopidmchlem 10073  hmopidmch 10074  hst1ht 10149  hstlet 10152  hstoht 10154  sto2 10159  stadd3 10170  strlem1 10172  golem1 10193  stcltrlem1 10198  cdj1 10355  cdj3lem1 10356  cdj3lem3b 10362  cdj3 10363  dmse1 10594  msr3 10596  msr4 10597  iintlem1 10603

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-enr 5178  df-nr 5179  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256

Copyright terms: Public domain