Theorem recnzt 6193

Description: The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer.

Assertion

Ref	Expression
recnzt	⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 1 < A) → ¬ (1 / A) ∈ ℤ)

Proof of Theorem recnzt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recgt1it 5902	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 1 < A) → (0 < (1 / A) ⋀ (1 / A) < 1))
2	1	pm3.27d 325	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 1 < A) → (1 / A) < 1)
3		0z 6148	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		zltp1let 6183	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ⋀ (1 / A) ∈ ℤ) → (0 < (1 / A) ↔ (0 + 1) ≤ (1 / A)))
5	3, 4	mpan 697	. . . . 5 ⊢ ((1 / A) ∈ ℤ → (0 < (1 / A) ↔ (0 + 1) ≤ (1 / A)))
6		ax1cn 5281	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7	6	addid2 5343	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
8	7	breq1i 2631	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) ≤ (1 / A) ↔ 1 ≤ (1 / A))
9	5, 8	syl6bb 538	. . . 4 ⊢ ((1 / A) ∈ ℤ → (0 < (1 / A) ↔ 1 ≤ (1 / A)))
10	1	pm3.26d 321	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 1 < A) → 0 < (1 / A))
11	9, 10	syl5cbi 209	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 1 < A) → ((1 / A) ∈ ℤ → 1 ≤ (1 / A)))
12		lt01 5692	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
13		0re 5452	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		1re 5447	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		axlttrn 5516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℝ ⋀ A ∈ ℝ) → ((0 < 1 ⋀ 1 < A) → 0 < A))
16	13, 14, 15	mp3an12 908	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → ((0 < 1 ⋀ 1 < A) → 0 < A))
17	12, 16	mpani 700	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → (1 < A → 0 < A))
18	17	imdistani 445	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 1 < A) → (A ∈ ℝ ⋀ 0 < A))
19		gt0ne0t 5630	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 0 < A) → A ≠ 0)
20	18, 19	syl 10	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 1 < A) → A ≠ 0)
21		rerecclt 5805	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ A ≠ 0) → (1 / A) ∈ ℝ)
22	20, 21	syldan 469	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 1 < A) → (1 / A) ∈ ℝ)
23		lenltt 5522	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ⋀ (1 / A) ∈ ℝ) → (1 ≤ (1 / A) ↔ ¬ (1 / A) < 1))
24	14, 23	mpan 697	. . . 4 ⊢ ((1 / A) ∈ ℝ → (1 ≤ (1 / A) ↔ ¬ (1 / A) < 1))
25	22, 24	syl 10	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 1 < A) → (1 ≤ (1 / A) ↔ ¬ (1 / A) < 1))
26	11, 25	sylibd 202	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 1 < A) → ((1 / A) ∈ ℤ → ¬ (1 / A) < 1))
27	2, 26	mt2d 111	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 1 < A) → ¬ (1 / A) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   / cdiv 5306   ≤ cle 5307  ℤcz 5310   < clt 5498

This theorem is referenced by:  halfnz 6196  facndivt 6943

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138

Copyright terms: Public domain