Theorem redivcl 5858

Description: Closure law for division of reals.

Assertion

Ref	Expression
redivcl	⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ B ≠ 0) → (A / B) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4026	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → (A / B) = ( if(A ∈ ℝ, A, 0) / B))
2	1	eleq1d 1587	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → ((A / B) ∈ ℝ ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) / B) ∈ ℝ))
3	2	imbi2d 623	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → ((B ≠ 0 → (A / B) ∈ ℝ) ↔ (B ≠ 0 → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) / B) ∈ ℝ)))
4		neeq1 1637	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → (B ≠ 0 ↔ if(B ∈ ℝ, B, 0) ≠ 0))
5		opreq2 4027	. . . . 5 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) / B) = ( if(A ∈ ℝ, A, 0) / if(B ∈ ℝ, B, 0)))
6	5	eleq1d 1587	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → (( if(A ∈ ℝ, A, 0) / B) ∈ ℝ ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) / if(B ∈ ℝ, B, 0)) ∈ ℝ))
7	4, 6	imbi12d 637	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → ((B ≠ 0 → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) / B) ∈ ℝ) ↔ ( if(B ∈ ℝ, B, 0) ≠ 0 → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) / if(B ∈ ℝ, B, 0)) ∈ ℝ)))
8		0re 5505	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
9	8	elimel 2446	. . . 4 ⊢ if(A ∈ ℝ, A, 0) ∈ ℝ
10	8	elimel 2446	. . . 4 ⊢ if(B ∈ ℝ, B, 0) ∈ ℝ
11	9, 10	redivclzi 5857	. . 3 ⊢ ( if(B ∈ ℝ, B, 0) ≠ 0 → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) / if(B ∈ ℝ, B, 0)) ∈ ℝ)
12	3, 7, 11	dedth2h 2439	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (B ≠ 0 → (A / B) ∈ ℝ))
13	12	3impia 842	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ B ≠ 0) → (A / B) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ w3a 787   = wceq 997   ∈ wcel 999   ≠ wne 1632   ifcif 2413  (class class class)co 4021  ℝcr 5298  0cc0 5299   / cdiv 5359

This theorem is referenced by:  rereccl 5861  lediv1 5909  lediv1OLD 5910  lt2mul2div 5931  lemuldiv 5934  lemuldivOLD 5935  ledivdiv 5950  ltdiv23 5952  lediv23 5953  recp1lt1 5961  ledivp1 5965  nndivre 6012  rehalfcl 6095  rpdivcl 6122  rerpdivcl 6124  nnrecl 6154  qre 6311  quoremz 6363  quoremnn0ALT 6364  quoremnn0 6365  intfracq 6367  fldiv 6368  fldiv2 6369  flmodOLD 6375  modcycOLD 6377  expnbnd 6743  climmullem1 7210  climmullem4 7213  cvgratlem5 7344  mulc1cncf 7369  efcltlem1 7394  reefcli 7407  efaddlem23 7450  efaddlem25 7452  reeftcl 7464  eftlubcl 7466  ef01tllem2 7474  ef01tllem2OLD 7475  efcn 7514  resin4p 7527  recos4p 7528  sin01bndlem2 7560  sin01bndlem3 7561  cos01bndlem2 7562  cos01bndlem3 7563  sin01gt0 7568  cos01gt0 7569  ruclem13 7614  sm1cnilem 8431  blocnilem 8548  blocni 8549  ubthlem12 8624  ubthlem13 8625  ubthlem14 8626  sineq0 8796  occllem6 9261  projlem2 9270  projlem28 9296  nmophmi 10044  lnopconi 10046  lnfnconi 10073  msr3 10707  msr4 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768

Copyright terms: Public domain