Theorem reeff1o 7426

Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1o	⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→(0(,) +∞)

Proof of Theorem reeff1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 3203	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→(0(,) +∞) ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→(0(,) +∞) ⋀ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→(0(,) +∞)))
2		reeff1 7410	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→(0(,) +∞)
3		df-fo 3202	. . 3 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→(0(,) +∞) ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ⋀ ran (exp ↾ ℝ) = (0(,) +∞)))
4		axresscn 5280	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		sumex 6981	. . . . . 6 ⊢ Σk ∈ ℕ0 ((p↑k) / (! ‘k)) ∈ V
6		df-ef 7298	. . . . . 6 ⊢ exp = {⟨p, q⟩∣(p ∈ ℂ ⋀ q = Σk ∈ ℕ0 ((p↑k) / (! ‘k)))}
7	5, 6	fnopab2 3624	. . . . 5 ⊢ exp Fn ℂ
8		fnssresb 3605	. . . . 5 ⊢ (exp Fn ℂ → ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ)
10	4, 9	mpbir 190	. . 3 ⊢ (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
11		df-f1 3201	. . . . . . . 8 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→(0(,) +∞) ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–→(0(,) +∞) ⋀ Fun ◡(exp ↾ ℝ)))
12	2, 11	mpbi 189	. . . . . . 7 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–→(0(,) +∞) ⋀ Fun ◡(exp ↾ ℝ))
13	12	pm3.26i 320	. . . . . 6 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–→(0(,) +∞)
14		df-f 3200	. . . . . 6 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–→(0(,) +∞) ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ⋀ ran (exp ↾ ℝ) ⊆ (0(,) +∞)))
15	13, 14	mpbi 189	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ⋀ ran (exp ↾ ℝ) ⊆ (0(,) +∞))
16	15	pm3.27i 324	. . . 4 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) ⊆ (0(,) +∞)
17		1re 5447	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
18		lelttrit 5634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℝ) → (z ≤ 1 ⋁ 1 < z))
19		leloet 5530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℝ) → (z ≤ 1 ↔ (z < 1 ⋁ z = 1)))
20	19	orbi1d 617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℝ) → ((z ≤ 1 ⋁ 1 < z) ↔ ((z < 1 ⋁ z = 1) ⋁ 1 < z)))
21	18, 20	mpbid 195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℝ) → ((z < 1 ⋁ z = 1) ⋁ 1 < z))
22	17, 21	mpan2 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ ℝ → ((z < 1 ⋁ z = 1) ⋁ 1 < z))
23	22	adantr 391	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) → ((z < 1 ⋁ z = 1) ⋁ 1 < z))
24		reclt1t 5900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) → (z < 1 ↔ 1 < (1 / z)))
25		reeff1olem2 7425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 / z) ∈ ℝ ⋀ 1 < (1 / z)) → ∃y ∈ ℝ (exp ‘y) = (1 / z))
26		gt0ne0t 5630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) → z ≠ 0)
27		rerecclt 5805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ z ≠ 0) → (1 / z) ∈ ℝ)
28	26, 27	syldan 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) → (1 / z) ∈ ℝ)
29	25, 28	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ 1 < (1 / z)) → ∃y ∈ ℝ (exp ‘y) = (1 / z))
30		rec11rt 5781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((z ∈ ℂ ⋀ (exp ‘y) ∈ ℂ) ⋀ (z ≠ 0 ⋀ (exp ‘y) ≠ 0)) → ((1 / z) = (exp ‘y) ↔ (1 / (exp ‘y)) = z))
31	30	an4s 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((z ∈ ℂ ⋀ z ≠ 0) ⋀ ((exp ‘y) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘y) ≠ 0)) → ((1 / z) = (exp ‘y) ↔ (1 / (exp ‘y)) = z))
32		recnt 5325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (z ∈ ℝ → z ∈ ℂ)
33	32	adantr 391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) → z ∈ ℂ)
34	33, 26	jca 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) → (z ∈ ℂ ⋀ z ≠ 0))
35		recnt 5325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (y ∈ ℝ → y ∈ ℂ)
36		efclt 7312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (y ∈ ℂ → (exp ‘y) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (y ∈ ℝ → (exp ‘y) ∈ ℂ)
38		efne0t 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (y ∈ ℂ → (exp ‘y) ≠ 0)
39	35, 38	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (y ∈ ℝ → (exp ‘y) ≠ 0)
40	37, 39	jca 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (y ∈ ℝ → ((exp ‘y) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘y) ≠ 0))
41	31, 34, 40	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ y ∈ ℝ) → ((1 / z) = (exp ‘y) ↔ (1 / (exp ‘y)) = z))
42		efcant 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (y ∈ ℂ → ((exp ‘y) · (exp ‘-y)) = 1)
43	42	eqcomd 1483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (y ∈ ℂ → 1 = ((exp ‘y) · (exp ‘-y)))
44		divmul2t 5720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((1 ∈ ℂ ⋀ (exp ‘y) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘-y) ∈ ℂ) ⋀ (exp ‘y) ≠ 0) → ((1 / (exp ‘y)) = (exp ‘-y) ↔ 1 = ((exp ‘y) · (exp ‘-y))))
45		ax1cn 5281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 ∈ ℂ
46	45	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (y ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
47		negclt 5380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (y ∈ ℂ → -y ∈ ℂ)
48		efclt 7312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (-y ∈ ℂ → (exp ‘-y) ∈ ℂ)
49	47, 48	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (y ∈ ℂ → (exp ‘-y) ∈ ℂ)
50	46, 36, 49	3jca 821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (y ∈ ℂ → (1 ∈ ℂ ⋀ (exp ‘y) ∈ ℂ ⋀ (exp ‘-y) ∈ ℂ))
51	44, 50, 38	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (y ∈ ℂ → ((1 / (exp ‘y)) = (exp ‘-y) ↔ 1 = ((exp ‘y) · (exp ‘-y))))
52	43, 51	mpbird 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (y ∈ ℂ → (1 / (exp ‘y)) = (exp ‘-y))
53	35, 52	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (y ∈ ℝ → (1 / (exp ‘y)) = (exp ‘-y))
54	53	eqeq1d 1486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (y ∈ ℝ → ((1 / (exp ‘y)) = z ↔ (exp ‘-y) = z))
55	54	adantl 390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ y ∈ ℝ) → ((1 / (exp ‘y)) = z ↔ (exp ‘-y) = z))
56	41, 55	bitrd 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ y ∈ ℝ) → ((1 / z) = (exp ‘y) ↔ (exp ‘-y) = z))
57		eqcom 1480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 / z) = (exp ‘y) ↔ (exp ‘y) = (1 / z))
58	56, 57	syl5bbr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ y ∈ ℝ) → ((exp ‘y) = (1 / z) ↔ (exp ‘-y) = z))
59	58	biimpd 153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ y ∈ ℝ) → ((exp ‘y) = (1 / z) → (exp ‘-y) = z))
60	59	r19.22dva 1742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) → (∃y ∈ ℝ (exp ‘y) = (1 / z) → ∃y ∈ ℝ (exp ‘-y) = z))
61	60	adantr 391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ 1 < (1 / z)) → (∃y ∈ ℝ (exp ‘y) = (1 / z) → ∃y ∈ ℝ (exp ‘-y) = z))
62	29, 61	mpd 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ 1 < (1 / z)) → ∃y ∈ ℝ (exp ‘-y) = z)
63		renegclt 5449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ ℝ → -y ∈ ℝ)
64		infm3lem 6055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ ℝ → ∃y ∈ ℝ x = -y)
65		fveq2 3730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x = -y → (exp ‘x) = (exp ‘-y))
66	65	eqeq1d 1486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = -y → ((exp ‘x) = z ↔ (exp ‘-y) = z))
67	63, 64, 66	rexxfr 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z ↔ ∃y ∈ ℝ (exp ‘-y) = z)
68	62, 67	sylibr 200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ 1 < (1 / z)) → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z)
69	68	ex 373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) → (1 < (1 / z) → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z))
70	24, 69	sylbid 203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) → (z < 1 → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z))
71	70	imp 350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ z < 1) → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z)
72		ef0 7335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp ‘0) = 1
73	72	eqeq2i 1488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z = (exp ‘0) ↔ z = 1)
74		0re 5452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
75		fveq2 3730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x = 0 → (exp ‘x) = (exp ‘0))
76	75	eqeq1d 1486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = 0 → ((exp ‘x) = z ↔ (exp ‘0) = z))
77	76	rcla4ev 1880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ (exp ‘0) = z) → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z)
78	74, 77	mpan 697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp ‘0) = z → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z)
79	78	eqcoms 1481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z = (exp ‘0) → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z)
80	73, 79	sylbir 201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z = 1 → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z)
81	80	adantl 390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ z = 1) → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z)
82	71, 81	jaodan 428	. . . . . . . . 9 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ (z < 1 ⋁ z = 1)) → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z)
83		reeff1olem2 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 1 < z) → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z)
84	83	adantlr 395	. . . . . . . . 9 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ 1 < z) → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z)
85	82, 84	jaodan 428	. . . . . . . 8 ⊢ (((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) ⋀ ((z < 1 ⋁ z = 1) ⋁ 1 < z)) → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z)
86	23, 85	mpdan 706	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ 0 < z) → ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z)
87		repos 6400	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ (0(,) +∞) ↔ (z ∈ ℝ ⋀ 0 < z))
88		fvres 3740	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ) ‘x) = (exp ‘x))
89	88	eqeq1d 1486	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ) ‘x) = z ↔ (exp ‘x) = z))
90	89	rexbiia 1677	. . . . . . 7 ⊢ (∃x ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ) ‘x) = z ↔ ∃x ∈ ℝ (exp ‘x) = z)
91	86, 87, 90	3imtr4 219	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ (0(,) +∞) → ∃x ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ) ‘x) = z)
92		fvelrnb 3766	. . . . . . 7 ⊢ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (z ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃x ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ) ‘x) = z))
93	10, 92	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃x ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ) ‘x) = z)
94	91, 93	sylibr 200	. . . . 5 ⊢ (z ∈ (0(,) +∞) → z ∈ ran (exp ↾ ℝ))
95	94	ssriv 2072	. . . 4 ⊢ (0(,) +∞) ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
96	16, 95	eqssi 2081	. . 3 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) = (0(,) +∞)
97	3, 10, 96	mpbir2an 732	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→(0(,) +∞)
98	1, 2, 97	mpbir2an 732	1 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→(0(,) +∞)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  ∃wrex 1649   ⊆ wss 2050   class class class wbr 2624  ^◡ccnv 3175  ran crn 3177   ↾ cres 3178  Fun wfun 3182   Fn wfn 3183  –→wf 3184  –1-1→wf1 3185  –onto→wfo 3186  –1-1-onto→wf1o 3187   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   · cmul 5251  -cneg 5305   / cdiv 5306   ≤ cle 5307  ℕ₀cn0 5309   +∞cpnf 5495   < clt 5498  (,)cioo 6358  ↑cexp 6569  !cfa 6931  Σcsu 6979  expce 7293

This theorem is referenced by:  reeff1o2 7427

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-icc 6365  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298

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