Theorem reldcat 10777

Description: The domain of a category is a relation.

Assertion

Ref	Expression
reldcat	⊢ Rel dom Cat

Proof of Theorem reldcat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strcat 10775	. . . 4 ⊢ Cat ⊆ ((V × V) × (V × V))
2		dmss 3367	. . . 4 ⊢ (Cat ⊆ ((V × V) × (V × V)) → dom Cat ⊆ dom ((V × V) × (V × V)))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 ⊢ dom Cat ⊆ dom ((V × V) × (V × V))
4		dmxpid 3390	. . 3 ⊢ dom ((V × V) × (V × V)) = (V × V)
5	3, 4	sseqtri 2144	. 2 ⊢ dom Cat ⊆ (V × V)
6		df-rel 3242	. 2 ⊢ (Rel dom Cat ↔ dom Cat ⊆ (V × V))
7	5, 6	mpbir 197	1 ⊢ Rel dom Cat

Syntax hints:  Vcvv 1858   ⊆ wss 2098   × cxp 3225  dom cdm 3227  Rel wrel 3232  Catccat 10767

This theorem is referenced by:  catded 10779

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-br 2675  df-opab 2722  df-xp 3241  df-rel 3242  df-dm 3245  df-cat 10768

Copyright terms: Public domain